2.1 Exercices d’entraînement 25
3) Déterminer l’équation de la tangente T à C f au point d’abscisse 0, et déterminer la position locale de C f par rapport à T .
4) Questions de la rédaction : Etudier les variations de f ainsi que le comportement de f en +∞ et en −1.
1) La fonction est définie lorsque 1+x > 0 et x = 0, donc D f = ] −1, 0 [ ∪ ] 0, +∞ [ .
2) et 3) Ces deux questions se traitent en effectuant un développement limité de f
au voisinage de 0. Il faut un développement d’ordre 1 pour obtenir la dérivabilité et
l’équation de la tangente en 0. Pour obtenir la position de la courbe par rapport à sa
tangente, on poursuivra le développement limité jusqu’à obtenir un terme non nul.
Ici l’ordre 2 suffira.
Faisons donc un développement limité à l’ordre 2 en 0. En réduisant f au même
dénominateur, on obtient f (x) =
x − ln(1 + x)
x ln(1 + x)
et au voisinage de 0, on a
x ln(1 + x) ∼ x
2 . En raison de la division par x
2 , il faut donc partir d’un développement limité de x → ln(1 + x) à l’ordre 4. On obtient
f (x) =
1
x −
x 2
2 +
x 3
3 −
x 4
4 + o(x 4 )
−
1
x
=
1
x
1
1 −
x
2 +
x 2
3 −
x 3
4 + o(x 3 )
− 1
.
En utilisant ensuite le développement limité
1
1 − u
= 1 + u + u
2 + u
3 + o(u
3 ), on
trouve celui de g(x) =
1
1 −
x
2 +
x 2
3 −
x 3
4 + o(x 3 )
g(x) = 1 +
x
2
−
x
2
3
+
x
3
4
+
x
2
−
x
2
3
+
x
3
4
2
+
x
2
−
x
2
3
+
x
3
4
3
+ o(x
3 )
= 1 +
x
2
−
x
2
3
+
x
3
4
+
x
2
4
−
x
3
3
+
x
3
8
+ o(x
3 )
= 1 +
x
2
−
x
2
12
+
x
3
24
+ o(x
3 ) .
Alors f (x) =
g(x) − 1
x
=
1
2
−
x
12
+
x
2
24
+ o(x
2 ) .
On peut donc répondre aux questions posées :
• La fonction f se prolonge en 0 par la valeur 1/2.
• La fonction f prolongée est dérivable en 0 et f
(0) = −1/12. L’équation de la
tangente en 0 est y =
1
2
−
x
12
.
• La position de la courbe par rapport à sa tangente est donnée par le signe de la
différence f (x)−
1
2
−
x
12
=
x
2
24
+o(x
2 ) ∼
x
2
24
et ce signe est positif au voisinage
de 0. La courbe est donc au-dessus de sa tangente au voisinage de 0.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
3) Déterminer l’équation de la tangente T à C f au point d’abscisse 0, et déterminer la position locale de C f par rapport à T .
4) Questions de la rédaction : Etudier les variations de f ainsi que le comportement de f en +∞ et en −1.
1) La fonction est définie lorsque 1+x > 0 et x = 0, donc D f = ] −1, 0 [ ∪ ] 0, +∞ [ .
2) et 3) Ces deux questions se traitent en effectuant un développement limité de f
au voisinage de 0. Il faut un développement d’ordre 1 pour obtenir la dérivabilité et
l’équation de la tangente en 0. Pour obtenir la position de la courbe par rapport à sa
tangente, on poursuivra le développement limité jusqu’à obtenir un terme non nul.
Ici l’ordre 2 suffira.
Faisons donc un développement limité à l’ordre 2 en 0. En réduisant f au même
dénominateur, on obtient f (x) =
x − ln(1 + x)
x ln(1 + x)
et au voisinage de 0, on a
x ln(1 + x) ∼ x
2 . En raison de la division par x
2 , il faut donc partir d’un développement limité de x → ln(1 + x) à l’ordre 4. On obtient
f (x) =
1
x −
x 2
2 +
x 3
3 −
x 4
4 + o(x 4 )
−
1
x
=
1
x
1
1 −
x
2 +
x 2
3 −
x 3
4 + o(x 3 )
− 1
.
En utilisant ensuite le développement limité
1
1 − u
= 1 + u + u
2 + u
3 + o(u
3 ), on
trouve celui de g(x) =
1
1 −
x
2 +
x 2
3 −
x 3
4 + o(x 3 )
g(x) = 1 +
x
2
−
x
2
3
+
x
3
4
+
x
2
−
x
2
3
+
x
3
4
2
+
x
2
−
x
2
3
+
x
3
4
3
+ o(x
3 )
= 1 +
x
2
−
x
2
3
+
x
3
4
+
x
2
4
−
x
3
3
+
x
3
8
+ o(x
3 )
= 1 +
x
2
−
x
2
12
+
x
3
24
+ o(x
3 ) .
Alors f (x) =
g(x) − 1
x
=
1
2
−
x
12
+
x
2
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+ o(x
2 ) .
On peut donc répondre aux questions posées :
• La fonction f se prolonge en 0 par la valeur 1/2.
• La fonction f prolongée est dérivable en 0 et f
(0) = −1/12. L’équation de la
tangente en 0 est y =
1
2
−
x
12
.
• La position de la courbe par rapport à sa tangente est donnée par le signe de la
différence f (x)−
1
2
−
x
12
=
x
2
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+o(x
2 ) ∼
x
2
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et ce signe est positif au voisinage
de 0. La courbe est donc au-dessus de sa tangente au voisinage de 0.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit