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Chap. 2. Fonctions réelles d’une variable réelle
D’où f (u) = −
3p
8
+
p + 3
2
u +
p − 4
2
u
2 + o(u
2 ) . La courbe admet donc une
demi-tangente à droite d’équation y = −
3p
8
+
p + 3
2
x −
1
2
, et puisque
f (x) −
−
3p
8
+
p + 3
2
x −
1
2
∼
p − 4
2
x −
1
2
2
< 0 , la courbe est localement située au-dessous de sa demi-tangente.
Pour u < 0, on a Arctan
1
2u
= −
p
2
− Arctan(2u) = −
p
2
− 2u + o(u
2 ) .
D’où f (u) =
3p
8
+
−p + 3
2
u +
−p − 4
2
u
2 + o(u
2 ) . La courbe admet donc une
demi-tangente à gauche d’équation y =
3p
8
+
−p + 3
2
x −
1
2
, et puisque
f (x) −
3p
8
+
−p + 3
2
x −
1
2
∼
−p − 4
2
x −
1
2
2
< 0 , la courbe est de
nouveau située localement au-dessous de sa demi-tangente.
• Posons u = 1/(2x − 1). On a u =
1
2
1 +
1
u
et
f (x) =
1
4
1 +
2
u
+
1
u 2
− 1
Arctan u
=
1
4u 2 +
1
2u
−
3
4
u −
u
3
3
+ o(u
3 )
=
1
u
1
4
+
u
2
−
3u
2
4
1 −
u
2
3
+ o(u
2 )
=
1
u
1
4
+
u
2
−
5u
2
6
+ o(u
2 )
=
1
4u
+
1
2
−
5u
6
+ o(u)
=
x
2
+
1
4
−
5
6(2x − 1)
+ o
1
x
.
La courbe admet comme asymptote la droite d’équation y =
x
2
+
1
2
, et puisque
f (x) −
x
2
+
1
2
∼ −
5
6(2x − 1)
, la courbe est au-dessus de son asymptote lorsque
x tend vers −∞ et au-dessous lorsque x tend vers +∞.
Exercice 2.10
Mines-Ponts PC 2005
On définit une fonction f par f (x) =
1
ln(1 + x)
−
1
x
.
1) Déterminer le domaine de définition de cette fonction.
2) Montrer que f est prolongeable en une fonction dérivable au point 0. On note
C f le graphe de la fonction ainsi prolongée.