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Chap. 2. Fonctions réelles d’une variable réelle
4) La fonction f est dérivable sur ] −1, +∞ [ et pour x ∈ D f \ {0}, on a
f
(x) =
−x
2 + (1 + x)(ln(1 + x))
2
(1 + x)x 2 (ln(1 + x)) 2 ,
et f
(x) est du signe de g(x) = −x
2 + (1 + x)(ln(1 + x))
2 . On étudie les
variations de g. Cette fonction est deux fois dérivable et l’on a successivement
g
(x) = −2x + (ln(1 + x))
2 + 2 ln(1 + x) puis g
(x) = 2
ln(1 + x) − x
1 + x
. Enfin en
étudiant h(x) = ln(1 + x) − x qui est dérivable, on a h
(x) = −
x
1 + x
.
Donc h
(x) est du signe de −x. Il en résulte que h atteint son maximum en 0. Comme
h(0) = 0, on en déduit que h, donc g
, est négative.
Alors g
est décroissante et s’annule en 0. Il en résulte que g
(x) est du signe de −x
et que g atteint son maximum en 0. Comme g(0) = 0 on en déduit que g et donc f
sont négatives. Alors f est décroissante sur ] −1, 0 [ et sur ] 0, +∞ [ . Comme f est
continue sur ] −1, +∞ [ , on déduit des résultats précédents que f est décroissante
sur ] −1, +∞ [ .
On obtient facilement lim
x→+∞
f (x) = 0, donc l’axe Ox est asymptote horizontale.
On a également lim
x→−1
f (x) = 1 donc f se prolonge par continuité en −1 par
la valeur 1. Etudions si f se prolonge en une fonction dérivable en −1. On a
f (x) − 1
x + 1
=
1
(x + 1) ln(x + 1)
−
1
x
et cette expression tend vers −∞ en −1. La
fonction f ne se prolonge pas en une fonction dérivable en −1, mais sa courbe
représentative aura une demi-tangente verticale en ce point.
0.5
0.6
0.7
0.8
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
x
Exercice 2.11
CCP PC 2005
Soit G l’ensemble des fonctions continues de R dans R vérifiant l’identité
∀(x, y) ∈ R
2 , g(x + y) + g(x − y) = 2[g(x) + g(y)].
(∗)
Soit g ∈ G .
1) Montrer que g(0) = 0 et que g est paire.
2) Montrer que, pour tout (x, n) ∈ R × N, on a g(nx) = n
2 g(x).
3) En déduire que, pour tout (x, r ) ∈ R × Q, on a g(r x) = r
2 g(x).