15.3 Exercices d’approfondissement 363
g(t) = (x(t), y(t)) est un arc de classe C
1 d’extrémités g(a) = A et g(b) = B, alors
g
v =
b
a
∂ F
∂x
(g(t))x
(t) +
∂ F
∂ y
(g(t))y
(t)
dt
=
b
a
(F ◦ g)
(t) dt = F(B) − F(A) = (1 +
3
2
) − 0 =
5
2
.
15.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 15.9
ENSAM PSI 2005
1. À l’aide de I (u) =
[0,u] 2
(sin x)e
−xy dx dy, montrer que
u
0
sin x
x
(1 − e
−xu ) dx =
u
0
1 − e
−uy (cos u + y sin u)
1 + y 2
dy
2. En déduire la valeur de l’intégrale
+∞
0
sin u
u
du.
1. La fonction (x, y) → (sin x)e
−xy est continue sur [0, u]
2 . On utilise la formule de
Fubini afin d’exprimer l’intégrale sous deux formes différentes :
I (u) =
x=u
x=0
y=u
y=0
sin xe
−xy dy
dx
=
u
0
−
sin x
x
e
−xy
u
0
dx =
u
0
sin x
x
(1 − e
−xu ) dx
=
y=u
y=0
x=u
x=0
sin xe
−xy dx
dy =
u
0
u
0
Im
e
−x(y−i)
dx
dy
=
u
0
Im
e
x(i−y)
i − y
u
0
dy =
u
0
− Im
(y + i)e
i x
e
−xy
y 2 + 1
u
0
dy
= −
u
0
(cos x + y sin x)
e
−xy
y 2 + 1
u
0
dy =
u
0
1 − (cos u + y sin u)e
−uy
y 2 + 1
dy.
2. On cherche bien entendu à faire tendre u vers +∞. Les intégrales contenant e
−xu
ou e
−yu vont sûrement tendre vers 0. On les sépare du reste de l’expression. Pour
la première intégrale, on a I (u) =
u
0
sin x
x
dx −
u
0
e
−xu sin x
x
dx. En utilisant
le fait que
sin x
x
est majoré par 1, on obtient
u
0
e
−xu sin x
x
dx
u
0
e
−xu dx =
1 − e
−u
2
u
1
u
.
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