362 Chap. 15. Intégrales doubles et curvilignes
Puisque C R ⊂ C R ⊂ C R
√
2 et que e
−(x
2 +y
2 )
0 pour tout (x, y) ∈ (R
+ )
2 , on a
C R
e
−(x
2 +y
2 ) dx dy
C R
e
−(x
2 +y
2 ) dx dy
C R
√
2
e
−(x
2 +y
2 ) dx dy,
ce qui donne l’encadrement demandé.
2. On calcule l’intégrale
C R
e
−(x
2 +y
2 ) dx dy à l’aide d’un passage en coordonnées
polaires. On a
C R
e
−(x
2 +y
2 ) dx dy =
R
0
p/2
0
re
−r
2
du
dr = −
p
4
e
−r
2
R
0
=
p
4
(1−e
−R
2
).
Par encadrement, on obtient lim
R→+∞
R
0
e
−t
2
dt
2
=
p
4
et comme t → e
−t
2
est
intégrable sur R
+ (fonction continue sur R
+ et négligeable en +∞ devant t → e
−t )
et que
+∞
0
e
−t
2
dt 0, on obtient finalement
+∞
0
e
−t
2
dt =
√
p
2
.
Exercice 15.8
TPE MP 2004
Calculer I =
g
(2y
3 x + 3x y
2 ) dx + (3y
2 x
2 + 3yx
2 ) dy où g est un arc C
1 d’extrémités A(2, 0) et B(1, 1).
Le fait que le chemin ne soit pas imposé semble indiquer que l’intégrale ne va pas
dépendre de l’arc mais seulement de ses extrémités. On montre que la forme différentielle v = P(x, y) dx + Q(x, y) dy est fermée (avec P(x, y) = (2y
3 x + 3x y
2 ) et
Q(x, y) = (3y
2 x
2 + 3yx
2 )). En effet, on a
∂ P
∂ y
(x, y) = 6x y
2 + 6x y =
∂ Q
∂x
(x, y). La
forme différentielle étant de classe C
2 sur R
2 qui est étoilé, elle est exacte et il existe
F de classe C
1 telle que v = d F. On cherche F telle que
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
∂ F
∂x
(x, y) = 2y
3 x + 3x y
2
∂ F
∂ y
(x, y) = 3y
2 x
2 + 3yx
2
.
La première équation donne F(x, y) = x
2 y
3 +
3
2
x
2 y
2 + f (y) où f est une fonction
de classe C
1 à déterminer. En reportant dans la seconde équation, f
= 0 et f est
constante. On choisit par exemple f = 0. On rappelle que si g : [a, b] → R
2 avec