15.2 Exercices d’entraînement 361
de K a semble moins facile) alors qu’un paramétrage du domaine serait
K a = {(
a
3
+ ar cos u, br sin u) | r ∈ [0, 1] et u ∈ [−p, p]}.
Mais dans ce cas la quantité
x 2 + y 2 semble plus difficile à simplifier.
On s’oriente toutefois vers le changement en coordonnées polaires. Le point
(r cos u, r sin u) est dans K a si et seulement si
g(r , u) = 3r
2 cos
2 u + 4r
2 sin
2 u − 2ar cos u − a
2
0.
Or g(r , u) = 4r
2
− r
2 cos
2 u − 2ar cos u − a
2 = 4r
2
− (r cos u + a)
2 . Cela
donne −(r cos u + a) 2r r cos u + a. La première inégalité est équivalente
à r (2 + cos u) −a et est par conséquent inutile (car on doit avoir r 0). La
seconde inégalité est équivalente à r (2 − cos u) a. Ainsi
K a = {(r cos u, r sin u) | u ∈ [−p, p] et r ∈ [0,
a
2 − cos u
]}.
Remarque
Il est normal que l’expression soit de ce type car O est le foyer de l’ellipse.
L’intégrale cherchée vaut donc
p
−p
a
2−cos u
0
r
2 dr
du =
a
3
3
p
−p
du
(2 − cos u) 3 .
On calcule cette intégrale à l’aide d’un logiciel de calcul formel :
Mathematica : Integrate[1/(2-(Cos[t])^3),{t,-pi,pi}
Maple : int(1/(2-(cos(t))^3),t=-pi..pi))
On obtient finalement I =
pa
3
3
√
3
.
Exercice 15.7
CCP PC 2007
On note, pour R > 0, C R le quart du disque {(x, y ∈ (R
+ )
2 , x
2 + y
2
R
2
}.
1. Montrer que
C R
e
−(x
2 +y
2 ) dx dy
R
0
e
−t
2
dt
2
C R
√
2
e
−(x
2 +y
2 ) dx dy
2. En déduire la valeur de
+∞
0
e
−t
2
dt.
1. On note C R le carré [0, R] × [0, R]. On a
C R
e
−(x
2 +y
2 ) dx dy =
R
0
R
0
e
−x
2
dx
e
−y
2
dy =
R
0
e
−x
2
dx
2
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit