364 Chap. 15. Intégrales doubles et curvilignes
Donc lim
u→+∞
u
0
e
−xu sin x
x
dx = 0. La seconde intégrale se sépare en deux parties
u
0
1
1 + y 2 dy −
u
0
e
−uy (cos u + y sin u)
1 + y 2
dy. On a | cos u + y sin u| 1 + y et
1 + y 1 + y
2 si y 1. Donc
1 + y
1 + y 2 est majoré par 1 sur [1, +∞[ et par une
constante M sur [0, 1] (le fonction de y est continue sur [0, 1]. Soit M un majorant
de
1 + y
1 + y 2 sur R
+ , on obtient
u
0
e
−uy (cos u + y sin u)
1 + y 2
dy
M
u
0
e
−uy dy
M
u
.
Remarque
En utilisant la formule de Cauchy-Schwarz, on peut obtenir la majoration plus
pratique ici : |1. cos u + y sin u|
1 + y 2 .
Finalement lim
u→+∞
I (u) =
+∞
0
dy
1 + y 2 =
p
2
. Cela donne, en même temps, la
convergence et la valeur de
+∞
0
sin x
x
dx, à savoir
p
2
.
Exercice 15.10
Centrale PC 2007
1. Soit E l’ensemble des fonctions de classe C
2 sur [0, 1], à valeurs réelles et
nulles en 0 et 1. Déterminer une fonction polynomiale P de degré 2 telle que
1
0
f (t) dt =
1
0
P(t) f
(t) dt et en déduire qu’il existe une constante k 0
telle que, ∀ f ∈ E,
1
0
f (t) dt
k sup
x∈[0,1]
| f
(x)| (∗).
Justifier l’existence d’une borne inférieure pour l’ensemble des constantes k
qui vérifient (∗) et déterminer cette borne inférieure.
2. Soit C = [0, 1]
2 et ∂C le bord de ce domaine. On définit
F = { f ∈ C
4 (C, R), f nulle sur ∂C}.
2.a Justifier l’existence de M f = sup
(x,y)∈C
∂
4 f
∂ 2 x∂ 2 y
(x, y)
.
2.b Montrer l’existence de k
∈ R + telle que
∀ f ∈ E,
C
f (x, y) dx dy
k M f .
2.c Chercher la borne inférieure des constantes k vérifiant la relation précédente.