2.1 Exercices d’entraînement 21
2) Montrer que f une bijection de R sur R.
3) En admettant que f est de classe C
∞ au voisinage de 0, déterminer les cinq
premiers termes du développement limité de f
−1 au voisinage de 0.
1) Montrons que f est dérivable en 0. En effet, pour tout x ∈ R
∗ on a
f (x) − f (0)
x
=
e
x
2 − 1
x 2 . Comme
e
x
2 − 1
x 2
∼
x→0
1, on a alors lim
x→0
f (x) − f (0)
x
= 1 .
Donc, f est dérivable en 0 et f
(0) = 1.
2) La fonction f est dérivable sur R
∗ et on a f
(x) =
(2x
2
− 1)e
x
2 + 1
x 2
. La
fonction f
est du même signe sur R
∗ que la fonction u définie sur R par
u(x) = (2x
2
− 1)e
x
2
+ 1 .
Cette fonction u est dérivable et l’on a u
(x) = 2x(2x
2 + 1)e
x
2
. On en déduit
que u
(x) est du signe de x. Alors u est strictement décroissante sur ] −∞, 0 ] et
strictement croissante sur [ 0, +∞ [ et puisque u(0) = 0, on en déduit que u, et donc
également f
, sont strictement positives sur R
∗ . En outre f
(0) > 0. On en conclut
que f est strictement croissante sur R.
Conclusion : la fonction f est une application bijective de R sur l’intervalle
] lim
x→−∞
f (x) , lim
x→−∞
f (x)[= R .
3)
Remarque
On peut montrer que f est une fonction C
∞ sur R en utilisant les séries entières.
Comme f est de classe C
∞ au voisinage de 0 et que f
(0) = 1, alors f
−1 est de
classe C
∞ au voisinage de f (0) = 0, donc admet des développements limités de
tous ordres. Par ailleurs, la fonction f est impaire, donc f
−1 est également impaire.
La fonction f
−1 admet donc un développement limité au voisinage de 0 de la forme
f
−1 (x) = ax + bx
3 + cx
5 + o(x
5 ) .
On a facilement le développement limité de f à l’ordre 5. En effet, puisque
e
x = 1 + x +
x
2
2
+
x
3
6
+ o(x
3 ), on obtient
e
x
2
= 1 + x
2 +
x
4
2
+
x
6
6
+ o(x
6 ), d’où f (x) = x +
x
3
2
+
x
5
6
+ o(x
5 ) .
En effectuant le développement limité de f
−1
◦ f à l’ordre 5 au voisinage de 0, on
obtient
( f
−1
◦ f )(x) = a f (x) + b f (x)
3 + c f (x)
5 + o(x
5 ) .
Par ailleurs
( f (x))
3 = x
3 +
3x
5
2
+ o(x
5 ), et ( f (x))
5 = x
5 + o(x
5 ) .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2) Montrer que f une bijection de R sur R.
3) En admettant que f est de classe C
∞ au voisinage de 0, déterminer les cinq
premiers termes du développement limité de f
−1 au voisinage de 0.
1) Montrons que f est dérivable en 0. En effet, pour tout x ∈ R
∗ on a
f (x) − f (0)
x
=
e
x
2 − 1
x 2 . Comme
e
x
2 − 1
x 2
∼
x→0
1, on a alors lim
x→0
f (x) − f (0)
x
= 1 .
Donc, f est dérivable en 0 et f
(0) = 1.
2) La fonction f est dérivable sur R
∗ et on a f
(x) =
(2x
2
− 1)e
x
2 + 1
x 2
. La
fonction f
est du même signe sur R
∗ que la fonction u définie sur R par
u(x) = (2x
2
− 1)e
x
2
+ 1 .
Cette fonction u est dérivable et l’on a u
(x) = 2x(2x
2 + 1)e
x
2
. On en déduit
que u
(x) est du signe de x. Alors u est strictement décroissante sur ] −∞, 0 ] et
strictement croissante sur [ 0, +∞ [ et puisque u(0) = 0, on en déduit que u, et donc
également f
, sont strictement positives sur R
∗ . En outre f
(0) > 0. On en conclut
que f est strictement croissante sur R.
Conclusion : la fonction f est une application bijective de R sur l’intervalle
] lim
x→−∞
f (x) , lim
x→−∞
f (x)[= R .
3)
Remarque
On peut montrer que f est une fonction C
∞ sur R en utilisant les séries entières.
Comme f est de classe C
∞ au voisinage de 0 et que f
(0) = 1, alors f
−1 est de
classe C
∞ au voisinage de f (0) = 0, donc admet des développements limités de
tous ordres. Par ailleurs, la fonction f est impaire, donc f
−1 est également impaire.
La fonction f
−1 admet donc un développement limité au voisinage de 0 de la forme
f
−1 (x) = ax + bx
3 + cx
5 + o(x
5 ) .
On a facilement le développement limité de f à l’ordre 5. En effet, puisque
e
x = 1 + x +
x
2
2
+
x
3
6
+ o(x
3 ), on obtient
e
x
2
= 1 + x
2 +
x
4
2
+
x
6
6
+ o(x
6 ), d’où f (x) = x +
x
3
2
+
x
5
6
+ o(x
5 ) .
En effectuant le développement limité de f
−1
◦ f à l’ordre 5 au voisinage de 0, on
obtient
( f
−1
◦ f )(x) = a f (x) + b f (x)
3 + c f (x)
5 + o(x
5 ) .
Par ailleurs
( f (x))
3 = x
3 +
3x
5
2
+ o(x
5 ), et ( f (x))
5 = x
5 + o(x
5 ) .
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