20
Chap. 2. Fonctions réelles d’une variable réelle
On obtient comme valeur approchée de le nombre 2,89328919. On remarquera
que la constante de contraction étant « petite » (proche de 0,65), la convergence
vers est très rapide.
Exercice 2.4
Centrale MP 2007
1) Montrer que l’application c : x ∈ [ 1, e ] →
1 +
1
x
x
est une contraction
sur [ 1, e ] .
2) Calculer inf{x ∈ R
+∗ , (x + 1)
x
x
x+1
} .
1) Etudions les variations de c sur I = [ 1, +∞ [ .
La fonction c est dérivable sur I , et l’on a c
(x) = c(x)g(x), où l’on a
posé g(x) = ln
1 +
1
x
−
1
x + 1
. La fonction g est dérivable sur I et l’on a
g
(x) = −
1
x(x + 1) 2 . Donc g est décroissante sur I . Comme lim
x→+∞
g(x) = 0 on a,
sur I , l’encadrement 0 g(x) g(1) = ln 2 − 1/2. Donc c
(x) > 0 et la fonction
c est croissante. De plus lim
x→+∞
c(x) = e. Il en résulte que, si x ∈ I , on a c(x) e,
et donc 0 < c
(x) e(ln 2 − 1/2) ≈ 0, 52 < 1 .
De plus c(1) = 2 et on en déduit que c( [ 1, e ] ) ⊂ [ 1, e ] , et que sup
x∈ [ 1, e ]
|c
(x)| < 1.
Donc la fonction c est contractante sur [ 1, e ] .
On remarque également que sur I , la fonction x → c(x) − x a une dérivée négative.
Elle est donc strictement décroissante sur I .
2) Soit E = {x ∈ R
+∗ , (x+1)
x
x
x+1
} . On a également E = {x ∈ R
+∗ , c(x) x } .
Lorsque x ∈ ] 0, 1 [ , on a (x + 1)
x > 1 > x
x+1 et x n’appartient pas à E. Sur I la
fonction x → c(x) − x est strictement décroissante et varie de 1 à −∞. Comme elle
est continue elle s’annule en un point et un seul. Il en résulte que inf E = et est
l’unique point fixe de c.
Il résulte des résultats de l’exercice précédent, que, quel que soit le point x 0 ∈ [ 1, e ] ,
la suite définie par la relation de récurrence x n+1 = c(x n ) converge vers cet unique
point fixe . Un calcul effectué avec Maple donne 2, 293166 comme valeur approchée
de .
Exercice 2.5
CCP PC 2006, Mines-Ponts MP 2006
Soit f la fonction définie sur R par f (x) =
e
x
2 − 1
x
si x = 0 et f (0) = 0.
1) Montrer que f est dérivable en 0.
Chap. 2. Fonctions réelles d’une variable réelle
On obtient comme valeur approchée de le nombre 2,89328919. On remarquera
que la constante de contraction étant « petite » (proche de 0,65), la convergence
vers est très rapide.
Exercice 2.4
Centrale MP 2007
1) Montrer que l’application c : x ∈ [ 1, e ] →
1 +
1
x
x
est une contraction
sur [ 1, e ] .
2) Calculer inf{x ∈ R
+∗ , (x + 1)
x
x
x+1
} .
1) Etudions les variations de c sur I = [ 1, +∞ [ .
La fonction c est dérivable sur I , et l’on a c
(x) = c(x)g(x), où l’on a
posé g(x) = ln
1 +
1
x
−
1
x + 1
. La fonction g est dérivable sur I et l’on a
g
(x) = −
1
x(x + 1) 2 . Donc g est décroissante sur I . Comme lim
x→+∞
g(x) = 0 on a,
sur I , l’encadrement 0 g(x) g(1) = ln 2 − 1/2. Donc c
(x) > 0 et la fonction
c est croissante. De plus lim
x→+∞
c(x) = e. Il en résulte que, si x ∈ I , on a c(x) e,
et donc 0 < c
(x) e(ln 2 − 1/2) ≈ 0, 52 < 1 .
De plus c(1) = 2 et on en déduit que c( [ 1, e ] ) ⊂ [ 1, e ] , et que sup
x∈ [ 1, e ]
|c
(x)| < 1.
Donc la fonction c est contractante sur [ 1, e ] .
On remarque également que sur I , la fonction x → c(x) − x a une dérivée négative.
Elle est donc strictement décroissante sur I .
2) Soit E = {x ∈ R
+∗ , (x+1)
x
x
x+1
} . On a également E = {x ∈ R
+∗ , c(x) x } .
Lorsque x ∈ ] 0, 1 [ , on a (x + 1)
x > 1 > x
x+1 et x n’appartient pas à E. Sur I la
fonction x → c(x) − x est strictement décroissante et varie de 1 à −∞. Comme elle
est continue elle s’annule en un point et un seul. Il en résulte que inf E = et est
l’unique point fixe de c.
Il résulte des résultats de l’exercice précédent, que, quel que soit le point x 0 ∈ [ 1, e ] ,
la suite définie par la relation de récurrence x n+1 = c(x n ) converge vers cet unique
point fixe . Un calcul effectué avec Maple donne 2, 293166 comme valeur approchée
de .
Exercice 2.5
CCP PC 2006, Mines-Ponts MP 2006
Soit f la fonction définie sur R par f (x) =
e
x
2 − 1
x
si x = 0 et f (0) = 0.
1) Montrer que f est dérivable en 0.