2.1 Exercices d’entraînement 19
|u n − a| l
n
|u 0 − a| . Comme la suite (l
n ) converge vers 0, il résulte du
théorème d’encadrement que la suite (u n ) converge vers a.
Remarque 2
Les résultats ci-dessus restent vrais si l’on remplace R par un intervalle fermé I
tel que f (I ) ⊂ I .
2) L’exemple de l’application x → x +1 qui est 1−lipschitzienne montre qu’une telle
application peut ne pas avoir de point fixe.
3) Si f est l lipschitzienne sur R, on a alors, pour tout (x, h) ∈ R × R
∗ , l’inégalité
f (x + h) − f (x)
h
l.
Lorsque f est dérivable, | f
(x)| = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
l. On en déduit que
f
est bornée sur R et que sup
t∈R
| f
(t)| l < 1.
Réciproquement, supposons f dérivable telle que sup
t∈R
| f
(t)| < 1. Soient x et y réels.
Il résulte de l’inégalité des accroissements finis que | f (x)− f (y)| |x−y| sup
t∈R
| f
(t)| .
La fonction f est donc lipschitzienne de rapport l = sup
t∈R
| f
(t)| , et puisque l < 1,
la fonction f est contractante.
Conclusion : lorsque f est dérivable sur R, elle est contractante si et seulement si la
fonction f
est bornée avec sup
t∈R
| f
(t)| < 1.
Mise en garde : il existe des fonctions dérivables sur R telles que pour tout
t ∈ R, | f
(t)| < 1 mais sup
t∈R
| f
(t)| = 1. Bien entendu, f n’est pas contractante
dans ce cas. Pour un exemple, prenez la fonction définie sur R par f (t) =
√
t 2 + 1.
4) La fonction f : x → f (x) =
3x
2 + 2
x 2 + 1
est dérivable sur R et f
(x) =
2x
(x 2 + 1) 2 .
Comme f
est dérivable, on étudie ses variations en calculant f
(x) = 2
1 − 3x
2
(x 2 + 1) 3 .
Sur [ 0, +∞ [ , la fonction f
est positive et atteint son maximum pour 1/
√
3. Alors,
puisque f
est impaire, on a sup
t∈R
| f
(t)| = f
(1/
√
3) =
3
√
3
8
< 1 . La fonction f est
donc contractante. Elle admet un unique point fixe et la suite (u n ) converge vers .
Remarque
En utilisant un logiciel de calcul formel, par exemple avec Maple
f:=x->(3*x^2+2)/(1+x^2);x:=1.;
for i from 1 to 10 do x:=f(x) od;
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
|u n − a| l
n
|u 0 − a| . Comme la suite (l
n ) converge vers 0, il résulte du
théorème d’encadrement que la suite (u n ) converge vers a.
Remarque 2
Les résultats ci-dessus restent vrais si l’on remplace R par un intervalle fermé I
tel que f (I ) ⊂ I .
2) L’exemple de l’application x → x +1 qui est 1−lipschitzienne montre qu’une telle
application peut ne pas avoir de point fixe.
3) Si f est l lipschitzienne sur R, on a alors, pour tout (x, h) ∈ R × R
∗ , l’inégalité
f (x + h) − f (x)
h
l.
Lorsque f est dérivable, | f
(x)| = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
l. On en déduit que
f
est bornée sur R et que sup
t∈R
| f
(t)| l < 1.
Réciproquement, supposons f dérivable telle que sup
t∈R
| f
(t)| < 1. Soient x et y réels.
Il résulte de l’inégalité des accroissements finis que | f (x)− f (y)| |x−y| sup
t∈R
| f
(t)| .
La fonction f est donc lipschitzienne de rapport l = sup
t∈R
| f
(t)| , et puisque l < 1,
la fonction f est contractante.
Conclusion : lorsque f est dérivable sur R, elle est contractante si et seulement si la
fonction f
est bornée avec sup
t∈R
| f
(t)| < 1.
Mise en garde : il existe des fonctions dérivables sur R telles que pour tout
t ∈ R, | f
(t)| < 1 mais sup
t∈R
| f
(t)| = 1. Bien entendu, f n’est pas contractante
dans ce cas. Pour un exemple, prenez la fonction définie sur R par f (t) =
√
t 2 + 1.
4) La fonction f : x → f (x) =
3x
2 + 2
x 2 + 1
est dérivable sur R et f
(x) =
2x
(x 2 + 1) 2 .
Comme f
est dérivable, on étudie ses variations en calculant f
(x) = 2
1 − 3x
2
(x 2 + 1) 3 .
Sur [ 0, +∞ [ , la fonction f
est positive et atteint son maximum pour 1/
√
3. Alors,
puisque f
est impaire, on a sup
t∈R
| f
(t)| = f
(1/
√
3) =
3
√
3
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< 1 . La fonction f est
donc contractante. Elle admet un unique point fixe et la suite (u n ) converge vers .
Remarque
En utilisant un logiciel de calcul formel, par exemple avec Maple
f:=x->(3*x^2+2)/(1+x^2);x:=1.;
for i from 1 to 10 do x:=f(x) od;
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit