18
Chap. 2. Fonctions réelles d’une variable réelle
Exercice 2.3
Centrale PC 2005
Une application de R dans R est contractante si elle est l−lipschitzienne avec
0 l < 1.
1) Soit f une application contractante de R dans R.
Montrer que f admet un unique point fixe a, qui est la limite de la suite (u n )
définie par u 0 ∈ R et, ∀n ∈ N, u n+1 = f (u n ).
2) Une application 1−lipschitzienne admet-elle un point fixe ?
3) Soit f une fonction dérivable de R dans R. Donner une condition nécessaire
et suffisante sur f
pour que f soit contractante sur R.
4) Soit (u n ) définie par u 0 ∈ R et ∀n ∈ N, u n+1 =
3u
2
n + 2
1 + u 2
n
. Montrer que (u n )
converge vers un réel .
1) Soit g = f − Id R . La fonction f est continue sur R donc g également. Montrer
que f admet un point fixe revient à montrer que g s’annule.
• Existence du point fixe. Soit a ∈ R. Pour tout réel x, on a | f (x)− f (a)| l|x −a|
donc f (a) − l|x − a| f (x) f (a) + l|x − a|.
Pour tout x > a, on a g(x) f (a) − la − (1 − l)x. Comme 1 − l > 0, on en
déduit que lim
x→+∞
( f (a) − la − (1 − l)x) = −∞ et donc lim
x→+∞
g(x) = −∞. Par
ailleurs, pour tout x < a, on a g(x) f (a) − la − (1 − l)x, et on en déduit que
lim
x→−∞
( f (a) − la − (1 − l)x) = +∞ et donc lim
x→−∞
g(x) = +∞. Il résulte alors
du théorème des valeurs intermédiaires que g s’annule au moins une fois dans R. La
fonction f admet bien un point fixe.
• Unicité du point fixe. Si a 1 et a 2 sont deux points fixes de f , alors
|a 1 − a 2 | = | f (a 1 ) − f (a 2 )| l|a 1 − a 2 |.
Or, l < 1, donc ceci n’est possible que si |a 1 − a 2 | = 0. Le point fixe est alors
unique.
Remarque 1
On aurait pu montrer que l’application g est une bijection de R sur R en montrant
que g est strictement décroissante.
• Convergence de la suite (u n ) vers le point fixe
Puisque f (a) = a, on a alors pour tout n ∈ N l’inégalité | f (u n )− f (a)| l|u n −a| ,
c’est-à-dire |u n+1 − a| l|u n − a| , et l’on en déduit par récurrence que
Chap. 2. Fonctions réelles d’une variable réelle
Exercice 2.3
Centrale PC 2005
Une application de R dans R est contractante si elle est l−lipschitzienne avec
0 l < 1.
1) Soit f une application contractante de R dans R.
Montrer que f admet un unique point fixe a, qui est la limite de la suite (u n )
définie par u 0 ∈ R et, ∀n ∈ N, u n+1 = f (u n ).
2) Une application 1−lipschitzienne admet-elle un point fixe ?
3) Soit f une fonction dérivable de R dans R. Donner une condition nécessaire
et suffisante sur f
pour que f soit contractante sur R.
4) Soit (u n ) définie par u 0 ∈ R et ∀n ∈ N, u n+1 =
3u
2
n + 2
1 + u 2
n
. Montrer que (u n )
converge vers un réel .
1) Soit g = f − Id R . La fonction f est continue sur R donc g également. Montrer
que f admet un point fixe revient à montrer que g s’annule.
• Existence du point fixe. Soit a ∈ R. Pour tout réel x, on a | f (x)− f (a)| l|x −a|
donc f (a) − l|x − a| f (x) f (a) + l|x − a|.
Pour tout x > a, on a g(x) f (a) − la − (1 − l)x. Comme 1 − l > 0, on en
déduit que lim
x→+∞
( f (a) − la − (1 − l)x) = −∞ et donc lim
x→+∞
g(x) = −∞. Par
ailleurs, pour tout x < a, on a g(x) f (a) − la − (1 − l)x, et on en déduit que
lim
x→−∞
( f (a) − la − (1 − l)x) = +∞ et donc lim
x→−∞
g(x) = +∞. Il résulte alors
du théorème des valeurs intermédiaires que g s’annule au moins une fois dans R. La
fonction f admet bien un point fixe.
• Unicité du point fixe. Si a 1 et a 2 sont deux points fixes de f , alors
|a 1 − a 2 | = | f (a 1 ) − f (a 2 )| l|a 1 − a 2 |.
Or, l < 1, donc ceci n’est possible que si |a 1 − a 2 | = 0. Le point fixe est alors
unique.
Remarque 1
On aurait pu montrer que l’application g est une bijection de R sur R en montrant
que g est strictement décroissante.
• Convergence de la suite (u n ) vers le point fixe
Puisque f (a) = a, on a alors pour tout n ∈ N l’inégalité | f (u n )− f (a)| l|u n −a| ,
c’est-à-dire |u n+1 − a| l|u n − a| , et l’on en déduit par récurrence que