2.1 Exercices d’entraînement 17
Il en résulte, en vertu de la stricte convexité de f , que D > 0.
Exercice 2.2
Saint-Cyr MP 2006, CCP PC 2005
Soit I un intervalle non vide et soit f : I → R. On pose
A = {x ∈ I | f ◦ f (x) = x} et B = {x ∈ I | f (x) = x}.
1) Montrer que si f est strictement croissante sur I , alors A = B.
2) Question de la rédaction : Montrer, par un exemple, que le résultat de 1) est
faux lorsque f est strictement décroissante sur I .
3) Déterminer le nombre de solutions de l’équation exp(ae
ax ) = x, où a > 0.
1) • Sans hypothèse sur f , si x est dans B, alors f ◦ f (x) = f ( f (x)) = f (x) = x
et x est dans A. Donc B ⊂ A.
• Si x n’est pas dans B, alors f (x) = x. Ou bien f (x) < x et comme f est strictement croissante, on a f ( f (x)) < f (x) d’où f ◦ f (x) < x .
Ou bien f (x) > x et comme f est strictement croissante, on a f ( f (x)) > f (x) d’où
f ◦ f (x) > x . Dans les deux cas f ◦ f (x) = x. Il en résulte que x n’est pas dans A.
Donc I \ B ⊂ I \ A et alors A ⊂ B. D’où A = B.
2) Soit f la fonction définie sur I = [ 0, 1 ] par f (x) = 1 − x. Dans ce cas,
A = [ 0, 1 ] et B = {1/2}.
3) Pour x ∈ R posons f (x) = e
ax . La fonction f est strictement croissante lorsque
a > 0 et les ensembles A et B sont égaux. Comme f (x) > 0, ils sont inclus dans R
∗
+ .
Pour x 0, posons g(x) = f (x) − x et étudions les variations de g. On a
g
(x) = f
(x) − 1 = ae
ax
− 1 .
Lorsque a 1, on a g
(x) 0 et g est croissante. Son minimum est atteint en 0 et
vaut g(0) = 1. Donc g ne s’annule pas et A = B = ∅.
Lorsque 0 < a < 1, la fonction g
s’annule en x 0 = −
ln a
a
, et le minimum de g est
atteint en ce point. Il vaut m =
1 + ln a
a
.
La fonction g décroît de 1 à m lorsque x varie de 0 à x 0 et croît de m à +∞ lorsque
x varie de x 0 à +∞. Donc
– lorsque m > 0 c’est-à-dire pour a ∈ ] 1/e, 1 [ , la fonction g ne s’annule pas et de
nouveau A = B = ∅,
– lorsque m < 0 c’est-à-dire pour a ∈ ] 0, 1/e [ , la fonction g s’annule une fois et
une seule dans chacun des intervalles ] 0, m [ et ] m, +∞ [ , et donc les ensembles
A et B contiennent deux éléments.
– lorsque m = 0, c’est-à-dire pour a = 1/e, la fonction g est nulle en e uniquement
et A = B = {e} .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Il en résulte, en vertu de la stricte convexité de f , que D > 0.
Exercice 2.2
Saint-Cyr MP 2006, CCP PC 2005
Soit I un intervalle non vide et soit f : I → R. On pose
A = {x ∈ I | f ◦ f (x) = x} et B = {x ∈ I | f (x) = x}.
1) Montrer que si f est strictement croissante sur I , alors A = B.
2) Question de la rédaction : Montrer, par un exemple, que le résultat de 1) est
faux lorsque f est strictement décroissante sur I .
3) Déterminer le nombre de solutions de l’équation exp(ae
ax ) = x, où a > 0.
1) • Sans hypothèse sur f , si x est dans B, alors f ◦ f (x) = f ( f (x)) = f (x) = x
et x est dans A. Donc B ⊂ A.
• Si x n’est pas dans B, alors f (x) = x. Ou bien f (x) < x et comme f est strictement croissante, on a f ( f (x)) < f (x) d’où f ◦ f (x) < x .
Ou bien f (x) > x et comme f est strictement croissante, on a f ( f (x)) > f (x) d’où
f ◦ f (x) > x . Dans les deux cas f ◦ f (x) = x. Il en résulte que x n’est pas dans A.
Donc I \ B ⊂ I \ A et alors A ⊂ B. D’où A = B.
2) Soit f la fonction définie sur I = [ 0, 1 ] par f (x) = 1 − x. Dans ce cas,
A = [ 0, 1 ] et B = {1/2}.
3) Pour x ∈ R posons f (x) = e
ax . La fonction f est strictement croissante lorsque
a > 0 et les ensembles A et B sont égaux. Comme f (x) > 0, ils sont inclus dans R
∗
+ .
Pour x 0, posons g(x) = f (x) − x et étudions les variations de g. On a
g
(x) = f
(x) − 1 = ae
ax
− 1 .
Lorsque a 1, on a g
(x) 0 et g est croissante. Son minimum est atteint en 0 et
vaut g(0) = 1. Donc g ne s’annule pas et A = B = ∅.
Lorsque 0 < a < 1, la fonction g
s’annule en x 0 = −
ln a
a
, et le minimum de g est
atteint en ce point. Il vaut m =
1 + ln a
a
.
La fonction g décroît de 1 à m lorsque x varie de 0 à x 0 et croît de m à +∞ lorsque
x varie de x 0 à +∞. Donc
– lorsque m > 0 c’est-à-dire pour a ∈ ] 1/e, 1 [ , la fonction g ne s’annule pas et de
nouveau A = B = ∅,
– lorsque m < 0 c’est-à-dire pour a ∈ ] 0, 1/e [ , la fonction g s’annule une fois et
une seule dans chacun des intervalles ] 0, m [ et ] m, +∞ [ , et donc les ensembles
A et B contiennent deux éléments.
– lorsque m = 0, c’est-à-dire pour a = 1/e, la fonction g est nulle en e uniquement
et A = B = {e} .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit