2 Fonctions réelles
d’une variable réelle
Les fonctions à valeurs réelles ou complexes d’une variable réelle ont déjà été étudiées dans le livre de première année. L’objectif est ici d’en consolider les acquis,
ce chapitre faisant l’objet de nombreuses questions aux concours. Les exercices
sélectionnés ici ont été ordonnés selon leur difficulté et leur ensemble constitue un
excellent moyen de préparation pour l’élève désireux d’aborder sereinement l’entrée en deuxième année et un excellent support de révision pour les lecteurs au
moment de la préparation aux épreuves orales.
2.1 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 2.1
CCP PC 2006
Soit (x, y, z) ∈ R
3 tel que x < y < z. Montrer D =
1 x e
x
1 y e
y
1 z e
z
> 0.
Question de la rédaction : Montrer que le résultat ci-dessus reste vrai lorsqu’on
remplace la fonction exponentielle par toute fonction f : R → R strictement
convexe.
Notons L 1 , L 2 et L 3 les trois lignes du déterminant.
• En remplaçant L 3 par L 3 − L 2 puis L 2 par L 2 − L 1 , on obtient
D =
1
x
e
x
0 y − x e
y
− e
x
0 z − y e
z
− e
y
= (y − x)(e
z
− e
y ) − (z − y)(e
y
− e
x ).
Puisque la fonction exponentielle est dérivable sur R, il existe, d’après le théorème
des accroissements finis, c ∈ ] x, y [ tel que e
y
− e
x = (y − x)e
c et d ∈ ] y, z [ tel
que e
z
− e
y = (z − y)e
d . Il en résulte, puisque c < y < d, que
D = (y − x)(z − y)(e
d
− e
c ) > 0.
• Puisque y ∈ ] x, z [ , il existe l ∈ ] 0, 1 [ tel que y = lx + (1 − l)z. En remplaçant
L 2 par L 2 − (lL 1 + (1 − l)L 3 ), on obtient
D =
1 x
f (x)
0 0 f (y) − (l f (x) + (1 − l) f (z))
1 z
f (z)
= (z − x)(l f (x)+(1−l) f (z)− f (y)).