Chap. 1. Suites Numériques 15
1) Si pour tout n ∈ N
∗ , on a x n = a, alors les fonctions f k sont toutes égales à la
même fonction f : x →
√
x + a, et y n = f
n (0).
On est donc ramené à l’étude de la suite définie par y 0 = 0 et la relation de récurrence
∀n ∈ N, y n+1 = f (y n ).
La fonction f est croissante sur [ 0, +∞ [ et, dans cet intervalle, admet un seul point
fixe =
1 +
√
1 + 4a
2
, c’est l’unique racine positive du trinôme x
2
− x − a. Comme
y 1 =
√
a > y 0 et la fonction f est croissante, la suite (y n ) n0 est alors croissante.
Par ailleurs, l’intervalle [ 0, , ] est stable par f . La suite (y n ) n0 est majorée. Elle
converge donc vers .
2) Si k 1 et x 0, notons f k (x) =
x + ab 2 k et f (x) =
√
x + a.
On constate que pour tout k 0 et tout x 0, on a f k (xb
2
k
) = b
2
k−1
f (x). On en
déduit alors par une récurrence descendante que, pour tout k ∈ {1, . . . , n}, on a la
relation f k ◦ . . . ◦ f n (0) = b
2
k−1
f
n−k+1 (0).
En effet, si cette relation est vraie pour un rang k, on a alors
f k−1 ◦ f k ◦ · · · ◦ f n (0) = f k−1 (b
2
k−1
f
n−k+1 (0)) = b
2
k−2
f
n−k+2 (0) ,
et la relation est vraie au rang k − 1. Il en résulte qu’elle est vraie au rang 1, et donc
que y n = b f
n (0). Donc, d’après 1) la suite (y n ) converge vers b
1 +
√
1 + 4a
2
.
3) Supposons que la suite (y n ) n∈N ∗ converge. Elle est majorée par une constante M.
Mais, en minorant x 1 . . . x n−1 par 0, on obtient, puisque la fonction racine carrée est
croissante,
y n =
x 1 +
x 2 + · · · +
√
x n x
1/2
n
n
= x
2
−n
n
.
Il en résulte que 0 x
2
−n
n
M. La suite (x
2
−n
n ) est donc bornée.
Réciproquement, supposons la suite (x
2
−n
n ) n∈N ∗ bornée. Il existe M tel que, pour tout
entier n 1, on ait x
2
−n
n
M, donc x n M
2
n
.
Nous allons montrer que la suite (y n ) n∈N ∗ est croissante et majorée.
• La suite (y n ) est croissante. En effet, la composée de fonctions croissantes étant une
fonction croissante, il en résulte que, pour tout n 1, la fonction f 1 ◦· · ·◦ f n est croissante, et puisque
√
x n+1 0, on en déduit f 1 ◦ · · · ◦ f n (
√
x n+1 ) f 1 ◦ · · · ◦ f n (0)
c’est-à-dire y n+1 y n .
• La suite (y n ) n∈N ∗ est majorée. En effet, puisque la fonction racine carrée est croissante, on a
y n =
x 1 +
x 2 + · · · +
√
x n
M 2 +
M 2 2 + · · · +
√
M 2 n .
Mais d’après la question 2), la suite (
M 2 +
M 2 2 + · · · +
√
M 2 n ) converge. Elle
est donc majorée, et il en résulte que la suite (y n ) n∈N ∗ est également majorée.
Conclusion : la suite (y n ) n∈N ∗ converge.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
1) Si pour tout n ∈ N
∗ , on a x n = a, alors les fonctions f k sont toutes égales à la
même fonction f : x →
√
x + a, et y n = f
n (0).
On est donc ramené à l’étude de la suite définie par y 0 = 0 et la relation de récurrence
∀n ∈ N, y n+1 = f (y n ).
La fonction f est croissante sur [ 0, +∞ [ et, dans cet intervalle, admet un seul point
fixe =
1 +
√
1 + 4a
2
, c’est l’unique racine positive du trinôme x
2
− x − a. Comme
y 1 =
√
a > y 0 et la fonction f est croissante, la suite (y n ) n0 est alors croissante.
Par ailleurs, l’intervalle [ 0, , ] est stable par f . La suite (y n ) n0 est majorée. Elle
converge donc vers .
2) Si k 1 et x 0, notons f k (x) =
x + ab 2 k et f (x) =
√
x + a.
On constate que pour tout k 0 et tout x 0, on a f k (xb
2
k
) = b
2
k−1
f (x). On en
déduit alors par une récurrence descendante que, pour tout k ∈ {1, . . . , n}, on a la
relation f k ◦ . . . ◦ f n (0) = b
2
k−1
f
n−k+1 (0).
En effet, si cette relation est vraie pour un rang k, on a alors
f k−1 ◦ f k ◦ · · · ◦ f n (0) = f k−1 (b
2
k−1
f
n−k+1 (0)) = b
2
k−2
f
n−k+2 (0) ,
et la relation est vraie au rang k − 1. Il en résulte qu’elle est vraie au rang 1, et donc
que y n = b f
n (0). Donc, d’après 1) la suite (y n ) converge vers b
1 +
√
1 + 4a
2
.
3) Supposons que la suite (y n ) n∈N ∗ converge. Elle est majorée par une constante M.
Mais, en minorant x 1 . . . x n−1 par 0, on obtient, puisque la fonction racine carrée est
croissante,
y n =
x 1 +
x 2 + · · · +
√
x n x
1/2
n
n
= x
2
−n
n
.
Il en résulte que 0 x
2
−n
n
M. La suite (x
2
−n
n ) est donc bornée.
Réciproquement, supposons la suite (x
2
−n
n ) n∈N ∗ bornée. Il existe M tel que, pour tout
entier n 1, on ait x
2
−n
n
M, donc x n M
2
n
.
Nous allons montrer que la suite (y n ) n∈N ∗ est croissante et majorée.
• La suite (y n ) est croissante. En effet, la composée de fonctions croissantes étant une
fonction croissante, il en résulte que, pour tout n 1, la fonction f 1 ◦· · ·◦ f n est croissante, et puisque
√
x n+1 0, on en déduit f 1 ◦ · · · ◦ f n (
√
x n+1 ) f 1 ◦ · · · ◦ f n (0)
c’est-à-dire y n+1 y n .
• La suite (y n ) n∈N ∗ est majorée. En effet, puisque la fonction racine carrée est croissante, on a
y n =
x 1 +
x 2 + · · · +
√
x n
M 2 +
M 2 2 + · · · +
√
M 2 n .
Mais d’après la question 2), la suite (
M 2 +
M 2 2 + · · · +
√
M 2 n ) converge. Elle
est donc majorée, et il en résulte que la suite (y n ) n∈N ∗ est également majorée.
Conclusion : la suite (y n ) n∈N ∗ converge.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit