14
Chap. 1. Suites Numériques
Comme f n+1 (1) = −1 et f n+1 (u n ) > 0, l’unique solution de l’équation f n+1 (x) = 0, à
savoir u n+1 , se trouve dans l’intervalle ] 1, u n [ . La suite (u n ) n1 est donc strictement
décroissante.
3) La suite (u n ) n1 est décroissante et minorée par 1 donc elle converge et sa limite,
notée , vérifie 1. Montrons que = 1.
De la définition de u n , on déduit que (∗) u
n
n (u
n
n − 1) = 1/u n . Comme pour tout
n ∈ N
∗ , on a u n 1, on déduit de l’égalité précédente que pour tout n dans N
∗
on a u
n
n (u
n
n − 1) 1. L’étude des variations de la fonction g : x → x(x − 1) sur
[ 1, +∞ [ , montre que : x(x − 1) 1 entraîne x 2. Pour tout n dans N
∗ , on a donc
1 u
n
n 2. On en déduit 0 ln u n
ln 2
n
, ce qui montre que (u n ) converge vers 1.
4) Montrons que la suite (v n ) n1 converge et déterminons sa limite.
L’égalité (∗) est équivalente à g(v n ) =
1
u n
. On vérifie aisément que la fonction g est
une bijection de [ 1, 2 ] sur [ 0, 2 ] et que g
−1 est continue sur [ 0, 2 ] . Ainsi, la
suite de terme général v n = g
−1
1
u n
converge et
lim
n−→+∞
v n = g
−1
lim
n−→+∞
1
u n
= g
−1 (1) =
1 +
√
5
2
.
5) Déterminons un équivalent simple de u n − 1.
Puisque lim
n−→+∞
u
n
n =
1 +
√
5
2
, on a lim
n−→+∞
n ln u n = ln
1 +
√
5
2
, d’où
ln u n ∼
n→+∞
1
n
ln
1 +
√
5
2
. Par ailleurs, ln u n = ln(1 + u n − 1) ∼
n→+∞
u n − 1.
Ainsi u n − 1 ∼
n→+∞
1
n
ln
1 +
√
5
2
.
Exercice 1.15
Mines-Ponts MP 2006, Polytechnique-ESPCI PC 2006 K
Soit (x n ) n∈N ∗ une suite de réels positifs. On pose pour tout n > 0,
y n =
x 1 +
x 2 + · · · +
√
x n .
1) Etudier la convergence de (y n ) n∈N ∗ lorsque x n = a pour tout n ∈ N
∗ où a > 0.
2) Même question lorsque x n = ab
2
n
pour tout n ∈ N
∗ , avec b > 0.
3) Montrer que (y n ) n∈N ∗ converge si et seulement si (x
2
−n
n ) n∈N ∗ est bornée.
Soit k ∈ N
∗ , on note f k la fonction définie sur [ 0, +∞ [ par f k (x) =
√
x k + x. Les
fonctions f k sont continues, croissantes et positives sur [ 0, +∞ [ , et pour tout n 1
on a alors y n = f 1 ◦ f 2 ◦ · · · ◦ f n (0).
Chap. 1. Suites Numériques
Comme f n+1 (1) = −1 et f n+1 (u n ) > 0, l’unique solution de l’équation f n+1 (x) = 0, à
savoir u n+1 , se trouve dans l’intervalle ] 1, u n [ . La suite (u n ) n1 est donc strictement
décroissante.
3) La suite (u n ) n1 est décroissante et minorée par 1 donc elle converge et sa limite,
notée , vérifie 1. Montrons que = 1.
De la définition de u n , on déduit que (∗) u
n
n (u
n
n − 1) = 1/u n . Comme pour tout
n ∈ N
∗ , on a u n 1, on déduit de l’égalité précédente que pour tout n dans N
∗
on a u
n
n (u
n
n − 1) 1. L’étude des variations de la fonction g : x → x(x − 1) sur
[ 1, +∞ [ , montre que : x(x − 1) 1 entraîne x 2. Pour tout n dans N
∗ , on a donc
1 u
n
n 2. On en déduit 0 ln u n
ln 2
n
, ce qui montre que (u n ) converge vers 1.
4) Montrons que la suite (v n ) n1 converge et déterminons sa limite.
L’égalité (∗) est équivalente à g(v n ) =
1
u n
. On vérifie aisément que la fonction g est
une bijection de [ 1, 2 ] sur [ 0, 2 ] et que g
−1 est continue sur [ 0, 2 ] . Ainsi, la
suite de terme général v n = g
−1
1
u n
converge et
lim
n−→+∞
v n = g
−1
lim
n−→+∞
1
u n
= g
−1 (1) =
1 +
√
5
2
.
5) Déterminons un équivalent simple de u n − 1.
Puisque lim
n−→+∞
u
n
n =
1 +
√
5
2
, on a lim
n−→+∞
n ln u n = ln
1 +
√
5
2
, d’où
ln u n ∼
n→+∞
1
n
ln
1 +
√
5
2
. Par ailleurs, ln u n = ln(1 + u n − 1) ∼
n→+∞
u n − 1.
Ainsi u n − 1 ∼
n→+∞
1
n
ln
1 +
√
5
2
.
Exercice 1.15
Mines-Ponts MP 2006, Polytechnique-ESPCI PC 2006 K
Soit (x n ) n∈N ∗ une suite de réels positifs. On pose pour tout n > 0,
y n =
x 1 +
x 2 + · · · +
√
x n .
1) Etudier la convergence de (y n ) n∈N ∗ lorsque x n = a pour tout n ∈ N
∗ où a > 0.
2) Même question lorsque x n = ab
2
n
pour tout n ∈ N
∗ , avec b > 0.
3) Montrer que (y n ) n∈N ∗ converge si et seulement si (x
2
−n
n ) n∈N ∗ est bornée.
Soit k ∈ N
∗ , on note f k la fonction définie sur [ 0, +∞ [ par f k (x) =
√
x k + x. Les
fonctions f k sont continues, croissantes et positives sur [ 0, +∞ [ , et pour tout n 1
on a alors y n = f 1 ◦ f 2 ◦ · · · ◦ f n (0).