Chap. 1. Suites Numériques 13
Mais v m + v n =
cos v m
sin v m
+
cos v n
sin v n
=
cos v m sin v n + cos v n sin v m
sin v m sin v n
. On en déduit
v m + v n =
sin(v m + v n )
sin v m sin v n
. De la même manière v m − v n =
sin(v n − v m )
sin v m sin v n
.
Alors
1
−1
cos(v m x) cos(v n x) dx = sin v m sin v n − sin v m sin v n = 0 . On a donc
I m,n = 0 . Par ailleurs
1
−1
cos
2 (v m x) dx =
1
0
(1 + cos(2v m x)) dx = 1 +
sin 2v m
2v m
.
Donc
1
−1
cos
2 (v m x) dx = 1 + sin v m cos v m tan v m = 1 + sin
2 v m = a m . Finalement on obtient I n,n = 1 .
Remarque
On vient de montrer que les fonctions définies pour m ∈ N
∗ et x ∈ [ −1, 1 ] par
f m (x) = cos(v m x) forment un système orthonormal pour le produit scalaire défini
sur C
0 ( [ −1, 1 ] ), R) par < f | g >=
1
−1
f (t)g(t) dt .
Exercice 1.14
CCP PC 2006
Soit n ∈ N
∗ . On considère la fonction f n définie par f n (x) = x
2n+1
− x
n+1
− 1.
1) Montrer que l’équation f n (x) = 0 admet une unique solution u n ∈ ] 1, +∞ [ .
2) Montrer que la suite (u n ) n1 est décroissante.
3) Montrer que lim
n−→+∞
u n = 1.
Indication : on pourra remarquer que u
n
n (u
n
n − 1) =
1
u n
.
4) Pour tout n ∈ N
∗ , on pose v n = u
n
n .
Montrer que la suite (v n ) n1 converge et a pour limite (1 +
√
5)/2.
5) Déterminer un équivalent simple de u n − 1.
1) Soit n ∈ N
∗ . La fonction f n est dérivable sur R et on a, pour tout x ∈ R,
f
n (x) = (2n + 1)x
2n
− (n + 1)x
n = x
n
(2n + 1)x
n
− (n + 1)
. Ainsi pour tout
x 1, f
n (x) 0. On en déduit que f n réalise une bijection de l’intervalle [ 1, +∞ [
sur son image [ f n (1), lim
x−→+∞
f n (x)[= [ −1, +∞ [ . Comme 0 ∈ ] −1, +∞ [ , il existe
u n ∈ ] 1, +∞ [ unique tel que f n (u n ) = 0.
2) Soit n ∈ N
∗ , en utilisant la relation u
2n+1
n
= u
n+1
n + 1, on obtient
f n+1 (u n ) = u
2n+3
n
− u
n+2
n − 1 = u
n+3
n + u
2
n − u
n+2
n − 1
= u
n+2
n (u n − 1) + (u n − 1)(u n + 1)
= (u n − 1)(u
n+2
n + u n + 1) > 0.
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