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Chap. 2. Fonctions réelles d’une variable réelle
D’où
( f
−1
◦ f )(x) = ax +
a
2
+ b
x
3 +
a
6
+
3b
2
+ c
x
5 + o(x
5 ) .
D’autre part, pour tout x réel, f
−1
◦ f (x) = x. Ainsi, par unicité du développement
limité, on obtient le système a = 1,
a
2
+ b =
a
6
+
3b
2
+ c = 0 d’où l’on tire b = −1/2
et c = 7/12.
On a finalement f
−1 (x) = x −
x
3
2
+
7x
5
12
+ o(x
5 ) .
Exercice 2.6
CCP PC 2006
Soient a ∈ R et r > 0, et soit f ∈ C
3 (I , R) où I = ] a − r , a + r [ .
Déterminer, si elle existe, lim
h→0
w(h), où
w(h) =
1
h 3
f (a + 3h) − 3 f (a + 2h) + 3 f (a + h) − f (a)
.
On va appliquer la formule de Taylor-Young. Puisque f est de classe C
3 sur
] a − r , a + r [ , on a, pour h assez petit, les relations
f (a + h) = f (a) + h f
(a) +
h
2
2
f
(a) +
h
3
6
f
(3) (a) + o(h
3 ) .
f (a + 2h) = f (a) + 2h f
(a) + 2h
2 f
(a) +
4h
3
3
f
(3) (a) + o(h
3 ) .
f (a + 3h) = f (a) + 3h f
(a) +
9h
2
2
f
(a) +
9h
3
2
f
(3) (a) + o(h
3 ) .
D’où
f (a + 3h) − 3 f (a + 2h) + 3 f (a + h) − f (a) = h
3 f
(3) (a) + o(h
3 ) .
Alors w(h) = f
(3) (a) + o(1) et donc lim
h→0
w(h) = f
(3) (a).
Exercice 2.7
Centrale PC 2005
Déterminer, si elle existe, lim
x→0 +
x
x
x
x x − 1
.
Rappelons que x
x
x
désigne x
(x
x ) et non (x
x )
x . Nous allons déterminer un équivalent
du numérateur (resp. dénominateur), au voisinage de 0
+ .
Soit x ∈ ] 0, +∞ [ , on a par définition x
x = e
x ln x . Sachant que x ln x tend vers 0
lorsque x tend vers 0
+ , on peut alors écrire x
x = 1 + x ln x + o(x ln x). Ainsi, au
voisinage de 0
+ , on obtient x
x
− 1 = x ln x + o(x ln x) ∼ x ln x .