358 Chap. 15. Intégrales doubles et curvilignes
1. On note O(0, 0), A(1, 1) et v = (y + x y) dx. Soient
g 1 :
[0, 1] → R
2
t
→ (t, t
2 )
et
g 2 :
[0, 1] → R
2
t
→ (1 − t, 1 − t)
.
Le support de g 1 est l’arc de parabole allant de O à A et celui de g 2 le segment
[AO].
g 1
v =
1
0
(t
2 + t
3 ) 1 dt =
1
3
+
1
4
=
7
12
g 2
v =
1
0
((1 − t) + (1 − t)
2 )(−1) dt =
(1 − t)
2
2
+
(1 − t)
3
3
1
0
= −
5
6
.
Ainsi
g
v =
7
12
−
5
6
= −
1
4
.
2. On note D = {(x, y) ∈ R
2 , 0 x 1, x
2
y x}, le domaine borné délimité
par g.
D
0
A
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Avec P(x, y) = y + x y, on obtient, en utlisant la formule de Green-Riemann
g
v =
D
−
∂ P
∂ y
dx dy =
1
0
x
x 2
−(1 + x) dy
dx
= −
1
0
(1 + x)(x − x
2 ) dx =
1
0
(x
3
− x) dx =
1
4
−
1
2
= −
1
4
.
15.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 15.5
TPE-EIVP PSI 2007
Soit D = {(x, y) ∈ R
2 , 0 x + y 4, x y 1}.
1. Dessiner D.
2. Montrer que F : (u, v) → (u − v, u + v) est un C
1 -difféomorphisme de R
2
dans R
2 .