15.2 Exercices d’entraînement 359
3. À l’aide du changement de variables x = u − v, y = u + v, calculer
I =
D
(x
2
− y
2 ) cos(x y) dx dy.
1. On obtient facilement le domaine suivant
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2. L’application F est de classe C
1 . Soit (x, y) ∈ R
2 . On cherche les antécédents de
(x, y) par F. On a F(u, v) = (x, y) si et seulement si u =
x + y
2
et v =
y − x
2
.
Donc F est bijective et sa réciproque est de classe C
1 . L’application F est bien
un C
1 -difféomorphisme de R
2 vers R
2 . Le jacobien de ce difféomorphisme est
j F (x, y) =
1 −1
1 1
= 2.
3. On réécrit les différentes conditions pour u et v. La condition 0 x + y 4 est
équivalente à 0 u 2, et la condition x y 1 est équivalente à u
2
− v
2
1.
Cela donne le nouveau domaine d’intégration suivant :
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
2
1
0
1
2
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