15.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 357
coordonnées polaires, on obtient
I =
u=p/6
u=0
r=1
r=2 sin u
r
2 dr
du =
p/6
0
1
3
−
8
3
sin
3 u
du
=
p
18
−
8
3
p/6
0
(1 − cos
2 u) sin u
du =
p
18
−
8
3
cos
3 u
3
− cos u
p/6
0
=
p
18
−
8
3
√
3
8
−
1
3
−
√
3
2
+ 1
=
p
18
−
16
9
+
√
3
15.1.3 Intégrales curvilignes
Ce qu’il faut savoir
• Soit v = P(x, y)dx + Q(x, y)dy une forme différentielle continue sur un ouvert
U de R
2 et G = ([a, b], f ) une arc de classe C
1 sur un segment [a, b] de R
à valeurs dans U , avec, pour tout t ∈ [a, b], f (t) = (x(t), y(t)). On définit
l’intégrale curviligne de v sur l’arc orienté G par
G
v =
b
a
P(x(t), y(t))x
(t) + Q(x(t), y(t))y
(t)
dt.
• Si v est une forme différentielle exacte sur U et si F est une primitive de v,
alors
G
v = F( f (b)) − F( f (a)).
• Formule de Green-Riemann : Soit D une partie fermée et bornée du plan
délimitée par un arc de classe C
1 sans point double. Si v = Pdx + Qdy est une
forme différentielle de classe C
1 sur un ouvert U contenant D. On appelle ∂ D
la frontière de D parcourue dans le sens direct. On a
∂ D
v =
D
∂ Q
∂x
−
∂ P
∂ y
dx dy.
Exercice 15.4
CCP MP 2007
Soit g la courbe constituée des deux portions de courbes comprises entre les
points d’intersection de la droite d’équation y = x et de la parabole d’équation
y = x
2 , orientée dans le sens trigonométrique.
1. Calculer
g
(y + x y) dx.
2. En utilisant la formule de Green-Riemann, retrouver la valeur de cette intégrale.
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