354 Chap. 15. Intégrales doubles et curvilignes
On commence par tracer le domaine d’intégration D. Le point d’intersection entre
les deux cercles dans le domaine y > 0 a pour coordonnées (
1
2
,
√
3
2
).
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
1.0
0.5
0.5
1.0
On peut paramétrer le domaine D en balayant sur la coordonnée y (un balayage sur
x obligerait à découper en deux sous-domaines, 0 x 1/2 et 1/2 x 1 pour
exprimer l’intervalle des valeurs prises par y à x fixé) :
D = {(x, y) ∈ R
2 , 0 y
√
3
2
, 1 −
1 − y 2 x
1 − y 2 }.
Alors
I =
y=
√
3/2
y=0
x=
√
1−y 2
x=1−
√
1−y 2
x y dx
dy =
y=
√
3/2
y=0
y
x
2
2
x=
√
1−y 2
x=1−
√
1−y 2
dy
=
√
3/2
0
y
2
(1 − y
2 ) − (1 −
1 − y 2 )
2
dy
=
√
3/2
0
y
2
2
1 − y 2 − 1
dy
=
1
2
−
2
3
(1 − y
2 )
3/2
−
y
2
2
√
3
2
0
=
1
2
2
3
(1 −
1
8
) −
3
8
=
5
48
.
15.1.2 Changement de variables
Ce qu’il faut savoir
• Soient U et V deux ouverts de R
2 et w un C
1 -difféomorphisme de U sur V . Si
D est un fermé borné (compact) simple de U dont l’image D par w est encore
un compact simple et si f est continue sur D alors
D
f (x, y) dx dy =
D
f ◦ w(u, v) | j w (u, v)| du dv