Intégrales doubles
et curvilignes
15
15.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
15.1.1 Intégrales doubles
Ce qu’il faut savoir
• Formule de Fubini sur un rectangle : soit f une fonction continue sur
[a, b] × [c, d]. Alors
b
a
d
c
f (x, y) dy
dx =
d
c
b
a
f (x, y) dx
dy.
• Soit D le domaine D = {(x, y) ∈ R
2 a x b et w 1 (x) y w 2 (x)} où
a < b et w 1 et w 2 sont deux fonctions continues sur [a, b] telles que w 1 < w 2
sur ]a, b[. Soit f une fonction continue sur D à valeurs réelles, on définit
D
f (x, y) dx dy =
b
a
w 2 (x)
w 1 (x)
f (x, y) dy
dx.
• Soit D le domaine D = {(x, y) ∈ R
2 c y d et c 1 (y) x c 2 (y)} où
c < d et c 1 et c 2 sont deux fonctions continues sur [c, d] telles que c 1 < c 2
sur ]c, d[. Soit f une fonction continue sur D à valeurs réelles, on définit
D
f (x, y) dx dy =
d
c
c 2 (y)
c 1 (y)
f (x, y) dx
dy.
• Formule de Fubini sur un domaine simple : lorsqu’un domaine peut être
décrit des deux façons précédentes, les deux intégrales sont égales.
Exercice 15.1
ICNA 2005
Soit C 1 le disque de centre 0 de rayon 1 et C 2 celui de centre (1, 0) de rayon 1.
On note D = {(x, y) ∈ C
1
∩ C
2 , y 0}. Calculer I =
D
x y dx dy.