352 Chap. 14. Calcul différentiel
2. L’énoncé implique que f est injective, car si f (x) = f (y), alors x − y 0,
donc x = y. On peut alors appliquer la caractérisation des difféomorphismes, et
on obtient que f (R
n ) est ouvert et que f est un difféomorphisme de R
n sur son
image.
3. On montre à présent que f (R
n ) est fermé.
Soit (y k ) k∈N une suite de f (R
n ) qui converge, soit y sa limite. Pour tout entier k,
il existe x k ∈ R
n tel que y k = f (x k ). Par hypothèse, on a y k − y j x k − x j
pour tous entiers j et k. La suite (y k ) converge, donc elle est de Cauchy. L’inégalité ci-dessus entraîne que la suite (x k ) est également de Cauchy, donc ses suites
coordonnées sont de Cauchy, donc elles convergent, ce qui signifie que la suite
(x k ) converge. En notant x sa limite, on déduit de la continuité de f que la suite
( f (x k )) converge vers f (x), d’où y = f (x) par unicité de la limite. Finalement,
la limite de (y k ) appartient à f (R
n ).
Il en résulte que f (R
n ) est une partie non vide de R
n , ouverte et fermée, donc est
égale à R
n compte tenu de la propriété admise, ce qui achève de prouver que f
est un C
1 difféomorphisme de R
n sur R
n .