14.3 Exercices d’approfondissement 351
5. Il semble y avoir un col en (−1, 1). Pour le vérifier, on effectue un développement
limité de f au voisinage de (−1, 1) en calculant f (−1 + x, 1 + y) où (x, y) est
proche de (0, 0), l’infiniment petit de référence étant x
2 + y
2 . On indique les étapes
du calcul :
f (−1 + x, 1 + y) =
2 − 2a
e
(1 − x + y +
x
2 + 2ax y + y
2
2 − 2a
)e
−1+x−y−x
2 /2−y
2 /2
=
2 − 2a
e
(1 − x + y +
x
2 + 2ax y + y
2
2 − 2a
)(1 + x − y − x y + o(x
2 + y
2 ))
On pose d(x, y) = f (−1 + x, 1 + y) − f (−1, 1). On obtient après calcul que :
d(x, y) =
1
e
((2a − 1)x
2 + 2x y + (2a − 1)y
2 + o(x
2 + y
2 ))
On en déduit que d(r cos u, r sin u) =
1
e
r
2 (2a − 1 + sin 2u + ´(r )), avec
lim
r→0
´(r ) = 0. Il existe donc h > 0 tel que pour tout r ∈ ] 0, h [ ,
|´(r )| < min(a, 1 − a).
On en déduit en prenant u = p/4 que :
∀r ∈ ] 0, h [ , d(r
√
2, r
√
2) =
1
e
(2a + ´(r )) >
a
e
> 0
et en prenant u = −p/4 que :
∀r ∈ ] 0, h [ , d(r
√
2, −r
√
2) =
1
e
(2a − 2 + ´(r )) <
a − 1
e
< 0
Cela montre que f ne présente pas d’extremum local en (−1, 1).
Exercice 14.25
Polytechnique, ENS PSI 2006 K
Soit f : R
n
→ R
n de classe C
1 telle que ∀(x, y) ∈ (R
n )
2 , f (x) − f (y) x − y.
1. Montrer que ∀(x, h) ∈ (R
n )
2 , d f x (h) h.
2. Démontrer que f est un difféomorphisme de R
n sur f (R
n ).
3. En admettant que les seules parties ouvertes et fermées de R
n sont ∅ et R
n ,
montrer que f (R
n ) = R
n .
1. Soient x, h ∈ R
n , et t un réel > 0. Par hypothèse,
f (x + th) − f (x)
t
h.
On sait que le taux d’accroissement
f (x + th) − f (x)
t
tend vers d f (x)(h) quand
t tend vers 0. Par continuité de la norme, on obtient en faisant tendre t vers 0
dans l’inégalité précédente que d f (x)(h) h. Par conséquent, d f (x) est un
endomorphisme injectif de R
n , donc un isomorphisme, donc son déterminant, qui
est le jacobien de f , ne s’annule pas.
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