15.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 355
Remarque
Par commodité, on note j w (u, v) =
D(x, y)
D(u, v)
le jacobien de w, ce qui permet
d’écrire la dernière intégrale sous la forme
D
f ◦ w(u, v)
D(x, y)
D(u, v)
du dv.
• En pratique : en général, le domaine est défini par des conditions sur les
variables x et y. Après avoir justifié que la fonction
w : (u, v) → (x = x(u, v), y = y(u, v))
est un difféomorphisme, on traduit les conditions sur x et y en conditions sur u
et v, ce qui donne le nouveau domaine d’intégration. On peut alors effectuer le
changement de variables.
• Cas particulier important : passage en coordonnées polaires
Soit w : (r , u) → (x = r cos u, y = r sin u), on obtient la formule
D
f (x, y) dx dy =
D
f (r cos u, r sin u)r dr du.
Remarque
La fonction w est un C
1 -difféomorphisme de R
∗
+ ×]−p, p[ vers R
2
\(R
−
×{0}),
qui n’est normalement pas utilisable lorsque le domaine D contient 0 ou rencontre la demi-droite R
−
× {0}. On admet que par un passage à la limite, on
peut effectuer ce changement sur un domaine inclus dans R
+
× [−p, p].
Exercice 15.2
CCP PSI 2004
Soient a, b et R trois réels strictement positifs. Calculer
I =
D
x
2
a 2 +
y
2
b 2
dx dy
où D est le disque de centre 0 de rayon R.
Puisque le domaine d’intégration est le disque de centre 0 et de rayon R, on calcule
cette intégrale à l’aide d’un passage en coordonnées polaires.
I =
u=2p
u=0
r=R
r=0
r
2
cos
2 u
a 2 +
sin
2 u
b 2
r dr du
=
2p
0
cos
2 u
a 2 +
sin
2 u
b 2
du
R
0
r
3 dr
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