348 Chap. 14. Calcul différentiel
Exercice 14.23
Centrale PSI 2007 K
Soit g : R → R continue et bornée. On pose, pour x ∈ R et t ∈ R
∗
+ ,
f (x, t) =
1
√
t
+∞
−∞
g(s)e
−
(x−s) 2
2t
ds .
Montrer que f est de classe C
2 sur R × R
∗
+ et qu’elle vérifie
∂ f
∂t
=
1
2
∂
2 f
∂x 2 .
Soit h : R
3
→ R définie par h(x, t, s) = g(s)e
−
(x−s) 2
2t
. La fonction h est continue sur R
3 et admet des dérivées partielles à tout ordre par rapport aux variables
x et t, également continues sur R
3 . On a
∂h
∂t
(x, t, s) =
(x − s)
2
2t 2 h(x, t, s) et
∂h
∂x
(x, t, s) = −
x − s
t
h(x, t, s) et
∂
2 h
∂x 2 (x, t, s) =
−
1
t
+
(x − s)
2
t 2
h(x, t, s).
On note M un majorant de |g(s)| sur R. Soient a, b, c trois réels strictement positifs
tels que b < c. On pose P = [ −a, a ] × [ b, c ] × R. Soit (x, t, s) ∈ P.
Soit s a. On a s − x s − a 0, donc e
−
(x−s) 2
2t
e
−
(s−a) 2
2c
.
Soit s −a. On a x − s −a − s 0, donc e
−
(x−s) 2
2t
e
−
(s+a) 2
2c .
Soit s ∈ [ −a, a ] . On a e
−
(x−s) 2
2t
1.
Soit w : R → R la fonction définie par : w(s) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
e
−
(s+a) 2
2c
si s −a
1 si − a s a
e
−
(s−a) 2
2c
si s a
La fonction w est continue et intégrable sur R, car négligeable devant s
−2 au voisinage de ±∞. De plus ∀(x, t, s) ∈ P, |h(x, t, s)| Mw(s).
On pose f 1 (x, t) =
+∞
−∞
h(x, t, s) ds. D’après un théorème sur les intégrables à
paramètre (avec hypothèses de domination locale), f 1 est continue sur R × R
∗
+ .
De même, |x − s| |s| + |x| |s| + a, donc pour (x, t, s) appartenant à P, on a :
|
∂h
∂t
(x, t, s)|
(|s| + a)
2
2b 2 Mw(s) = w 1 (s)
|
∂h
∂x
(x, t, s)|
|s| + a
b
Mw(s) = w 2 (s)
|
∂
2 h
∂x 2 (x, t, s)|
1
b
+
(|s| + a)
2
b 2
Mw(s) = w 3 (s)
Les fonctions w 1 , w 2 , w 3 sont continues et intégrables sur R (négligeables à l’infini
devant s
−2 ), donc on dispose des hypothèses de domination locale pour appliquer le
théorème de dérivation d’une intégrale à paramètre. Le principe est le même pour