14.3 Exercices d’approfondissement 349
les autres dérivées partielles secondes, on en déduit donc que f 1 est de classe C
2 sur
R × R
∗
+ , et qu’on peut dériver "sous le signe intégral". Comme la fonction racine
carrée est de classe C
2 sur R
∗
+ , on conclut que f est également de classe C
2 . En
calculant les dérivées partielles, on obtient :
√
t
∂ f
∂t
(x, t) +
1
2
√
t
f (x, t) =
∂
∂t
(
√
t f )(x, t) =
+∞
−∞
(x − s)
2
2t 2 h(x, t, s) ds .
√
t
∂
2 f
∂x 2 (x, t) =
∂
2 f 1
∂x 2 (x, t) =
+∞
−∞
(x − s)
2
t 2
−
1
t
h(x, t, s) ds .
d’où
∂ f
∂t
−
1
2
∂
2 f
∂x 2
(x, t) =
+∞
−∞
(x − t)
2
2t 2 √
t
−
1
2t
√
t
−
(x − s)
2
2
√
t t 2 +
1
2
√
t t
h(x, t, s) ds = 0 .
La fonction f est bien une solution sur R × R
∗
+ de l’équation de la chaleur à une
dimension.
Exercice 14.24
Centrale PC 2005 K
Soient a ∈ ] 0, 1 [ et f définie par :
∀(x, y) ∈ R
2 , f (x, y) = (x
2 + 2ax y + y
2 ) exp
−
x
2 + y
2
2
.
1. Montrer que f est de classe C
∞ et donner ses points critiques.
2. Montrer que (0, 0) est un extremum local. Est-ce un minimum ou un maximum ? Est-il global ?
3. Montrer qu’on peut ramener l’étude des quatre autres points critiques à l’étude
de deux d’entre eux seulement.
4. Etude du point (1, 1).
5. Etude du point (1, −1).
1. Les fonctions (x, y) → x
2 + 2ax y + y
2 et (x, y) → x
2 + y
2 sont C
∞ sur R
2 et
l’exponentielle est C
∞ sur R, donc par théorèmes généraux, f est de classe C
∞
sur R
2 . En dérivant par rapport à x et y, on obtient :
∂ f
∂x
(x, y) = (2x + 2ay − x(x
2 + 2ax y + y
2 )) exp
−
x
2 + y
2
2
∂ f
∂ y
(x, y) = (2ax + 2y − y(x
2 + 2ax y + y
2 )) exp
−
x
2 + y
2
2
.
Les points critiques vérifient le système
x(x
2 + 2ax y + y
2 ) = 2(x + ay)
y(x
2 + 2ax y + y
2 ) = 2(ax + y)
On remarque que x est nul si et seulement si y est nul.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit