14.3 Exercices d’approfondissement 347
Finalement, on a trouvé une expression à l’aide d’une seule intégrale de l’unique
primitive n
ième de f dont toutes les dérivées d’ordre n−1 s’annulent en 0, ce qu’on
pouvait également obtenir en appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à
cette fonction.
Exercice 14.22
Centrale PSI 2005 K
Soit f ∈ C
1 (R
n , R
n ) telle que f (0) = 0. On suppose d f (0) diagonalisable sur
R à valeurs propres dans ] −1, 1 [ .
1. Montrer qu’il existe l ∈ [ 0, 1 [ et une norme . sur R
n tels que :
∀x ∈ R
n , d f (0)(x) lx .
2. Montrer qu’il existe un voisinage V de 0 dans R
n tel que pour tout x ∈ V , la
suite (x k ) k∈N définie par : x 0 = x et ∀k ∈ N, x k+1 = f (x k ) converge vers 0.
1. Soit B = (´ 1 , . . . , ´ n ) une base de vecteurs propres de d f (0). On a donc
d f (0)(´ j ) = l j ´ j , avec l j ∈ ] −1, 1 [ pour tout j ∈ [[1 , n]]. On pose
l = max
1 jn
|l j |, on a l ∈ [ 0, 1 [ . Soit x ∈ R
n , il se décompose sous la
forme
n
j=1
u j ´ j . On pose alors x = sup
1 jn
|u j |. D’après le cours, on obtient
ainsi une norme sur R
n (norme infinie dans la base B). Avec les mêmes notations,
on obtient d f (0)(x) =
n
j=1
u j l j ´ j , d’où d f (0)(x) = sup
1 jn
|u j l j | lx.
2. On écrit la différentielle de f à l’origine : il existe un voisinage W de 0 tel que
∀x ∈ W , f (x) = d f (0)(x) + x´(x), où lim
x→0
´(x) = 0.
Il existe un réel r > 0 tel que B(0, r ) ⊂ W et ∀x ∈ B(0, r ), ´(x)
1 − l
2
.
On pose V = B(0, r ), de sorte que ∀x ∈ V , f (x) d f (0)(x) + x
1 − l
2
.
D’après la question 1, f (x)
1 + l
2
x x. Par conséquent, f (x) < r ,
donc f (x) ∈ V . Le voisinage V est stable par f . On en déduit par récurrence que
∀k ∈ N, x k ∈ V et x k
1 + l
2
x k−1
1 + l
2
k
x 0 .
Or 0 <
1 + l
2
< 1, donc la suite (x k ) converge vers 0.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Finalement, on a trouvé une expression à l’aide d’une seule intégrale de l’unique
primitive n
ième de f dont toutes les dérivées d’ordre n−1 s’annulent en 0, ce qu’on
pouvait également obtenir en appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à
cette fonction.
Exercice 14.22
Centrale PSI 2005 K
Soit f ∈ C
1 (R
n , R
n ) telle que f (0) = 0. On suppose d f (0) diagonalisable sur
R à valeurs propres dans ] −1, 1 [ .
1. Montrer qu’il existe l ∈ [ 0, 1 [ et une norme . sur R
n tels que :
∀x ∈ R
n , d f (0)(x) lx .
2. Montrer qu’il existe un voisinage V de 0 dans R
n tel que pour tout x ∈ V , la
suite (x k ) k∈N définie par : x 0 = x et ∀k ∈ N, x k+1 = f (x k ) converge vers 0.
1. Soit B = (´ 1 , . . . , ´ n ) une base de vecteurs propres de d f (0). On a donc
d f (0)(´ j ) = l j ´ j , avec l j ∈ ] −1, 1 [ pour tout j ∈ [[1 , n]]. On pose
l = max
1 jn
|l j |, on a l ∈ [ 0, 1 [ . Soit x ∈ R
n , il se décompose sous la
forme
n
j=1
u j ´ j . On pose alors x = sup
1 jn
|u j |. D’après le cours, on obtient
ainsi une norme sur R
n (norme infinie dans la base B). Avec les mêmes notations,
on obtient d f (0)(x) =
n
j=1
u j l j ´ j , d’où d f (0)(x) = sup
1 jn
|u j l j | lx.
2. On écrit la différentielle de f à l’origine : il existe un voisinage W de 0 tel que
∀x ∈ W , f (x) = d f (0)(x) + x´(x), où lim
x→0
´(x) = 0.
Il existe un réel r > 0 tel que B(0, r ) ⊂ W et ∀x ∈ B(0, r ), ´(x)
1 − l
2
.
On pose V = B(0, r ), de sorte que ∀x ∈ V , f (x) d f (0)(x) + x
1 − l
2
.
D’après la question 1, f (x)
1 + l
2
x x. Par conséquent, f (x) < r ,
donc f (x) ∈ V . Le voisinage V est stable par f . On en déduit par récurrence que
∀k ∈ N, x k ∈ V et x k
1 + l
2
x k−1
1 + l
2
k
x 0 .
Or 0 <
1 + l
2
< 1, donc la suite (x k ) converge vers 0.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit