346 Chap. 14. Calcul différentiel
Indication de la rédaction : s’intéresser à la fonction (x, y) →
y
0
g(t, x) dt.
• Question de la rédaction : Soit f : R → R continue, et n ∈ N
∗ . On pose
F(x) =
x
0
f (t)
(x − t)
n−1
(n − 1)!
dt. Démontrer que F est de classe C
n sur R, que
F
(k) (0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n − 1, et que F
(n) = f .
• On pose, pour tout (x, y) ∈ R
2 , G(x, y) =
y
0
g(t, x) dt.
− Soit a > 0. La fonction g est C
1 sur R
2 , donc
∂g
∂x
est bornée sur le compact
[ −a, a ]
2 , donc ∃M > 0, ∀(t, x) ∈ [ −a, a ]
2 , |
∂g
∂x
(t, x)| M. La constante M
est intégrable sur [ 0, y ] , donc par théorème sur les intégrales à paramètre (avec
hypothèses de domination locale), G admet une dérivée partielle par rapport à x sur
tout pavé [ −a, a ]
2 donc sur R
2 , et
∂G
∂x
(x, y) =
y
0
∂g
∂x
(t, x) dt. Cette fonction est
continue sur R
2 .
− En tant qu’intégrale fonction de sa borne supérieure, G admet une dérivée partielle par rapport à y et
∂G
∂ y
(x, y) = g(y, x). Cette fonction est continue sur R
2 .
Finalement, on a bien montré que G est de classe C
1 sur R
2 .
− Étant donné que F(x) = G(x, x), la fonction F est de classe C
1 sur R, et
F
(x) =
∂G
∂x
(x, x) +
∂G
∂ y
(x, x) = g(x, x) +
x
0
∂g
∂x
(t, x) dt.
• On considère la fonction g : (t, x) → f (t)
(x − t)
k
k!
, où k ∈ N
∗ . Cette fonction
est continue et admet une dérivée partielle par rapport à x, égale à f (t)
(x − t)
k−1
(k − 1)!
,
également continue sur R
2 . L’existence de la dérivée partielle de g par rapport à la
variable t n’intervient pas dans la première question, donc on peut appliquer le résultat qui précède, et on obtient que g est de classe C
1 et g
(x) =
x
0
f (t)
(x − t)
k−1
(k − 1)!
dt.
En particulier, g
(0) = 0. En itérant le processus à partir de k = n − 1 et jusqu’à
k = 1, on en déduit que la fonction F : x →
x
0
f (t)
(x − t)
n−1
(n − 1)!
dt est de classe
C
n−1 sur R et que F
( p) (x) =
x
0
f (t)
(x − t)
n− p−1
(n − p − 1)!
dt pour tout p ∈ [[1 , n − 1]].
En particulier, F
(n−1) (x) =
x
0
f (t) dt, donc F est de classe C
n sur R et F
(n) = f .
Indication de la rédaction : s’intéresser à la fonction (x, y) →
y
0
g(t, x) dt.
• Question de la rédaction : Soit f : R → R continue, et n ∈ N
∗ . On pose
F(x) =
x
0
f (t)
(x − t)
n−1
(n − 1)!
dt. Démontrer que F est de classe C
n sur R, que
F
(k) (0) = 0 pour tout k compris entre 0 et n − 1, et que F
(n) = f .
• On pose, pour tout (x, y) ∈ R
2 , G(x, y) =
y
0
g(t, x) dt.
− Soit a > 0. La fonction g est C
1 sur R
2 , donc
∂g
∂x
est bornée sur le compact
[ −a, a ]
2 , donc ∃M > 0, ∀(t, x) ∈ [ −a, a ]
2 , |
∂g
∂x
(t, x)| M. La constante M
est intégrable sur [ 0, y ] , donc par théorème sur les intégrales à paramètre (avec
hypothèses de domination locale), G admet une dérivée partielle par rapport à x sur
tout pavé [ −a, a ]
2 donc sur R
2 , et
∂G
∂x
(x, y) =
y
0
∂g
∂x
(t, x) dt. Cette fonction est
continue sur R
2 .
− En tant qu’intégrale fonction de sa borne supérieure, G admet une dérivée partielle par rapport à y et
∂G
∂ y
(x, y) = g(y, x). Cette fonction est continue sur R
2 .
Finalement, on a bien montré que G est de classe C
1 sur R
2 .
− Étant donné que F(x) = G(x, x), la fonction F est de classe C
1 sur R, et
F
(x) =
∂G
∂x
(x, x) +
∂G
∂ y
(x, x) = g(x, x) +
x
0
∂g
∂x
(t, x) dt.
• On considère la fonction g : (t, x) → f (t)
(x − t)
k
k!
, où k ∈ N
∗ . Cette fonction
est continue et admet une dérivée partielle par rapport à x, égale à f (t)
(x − t)
k−1
(k − 1)!
,
également continue sur R
2 . L’existence de la dérivée partielle de g par rapport à la
variable t n’intervient pas dans la première question, donc on peut appliquer le résultat qui précède, et on obtient que g est de classe C
1 et g
(x) =
x
0
f (t)
(x − t)
k−1
(k − 1)!
dt.
En particulier, g
(0) = 0. En itérant le processus à partir de k = n − 1 et jusqu’à
k = 1, on en déduit que la fonction F : x →
x
0
f (t)
(x − t)
n−1
(n − 1)!
dt est de classe
C
n−1 sur R et que F
( p) (x) =
x
0
f (t)
(x − t)
n− p−1
(n − p − 1)!
dt pour tout p ∈ [[1 , n − 1]].
En particulier, F
(n−1) (x) =
x
0
f (t) dt, donc F est de classe C
n sur R et F
(n) = f .