14.3 Exercices d’approfondissement 345
On peut expliciter le résultat obtenu :
∂ I
∂x
(x, y) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
(x − y)
1
x − (ln x − ln y)
(x − y) 2
si x = y
−
1
2x 2
si x = y
.
14.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 14.20
Mines-Ponts PSI 2005K
Soient k ∈ ] 0, 1 [ et f une fonction de classe C
1 de R dans R telle que
∀x ∈ R, | f
(x)| k. Soit g l’application de R
2 dans R
2 définie par
g(x, y) = (x + f (y), y + f (x)). Montrer que g est un C
1 difféomorphisme
de R
2 sur R
2 .
La fonction g est de classe C
1 sur R
2 , et son jacobien est égal à
1
f
(y)
f
(x)
1
, qui
est égal à 1 − f
(x) f
(y). Cette expression est supérieure ou égale à 1 − k
2 , donc ne
s’annule pas.
Montrons que g est bijective. Soit (X , Y ) ∈ R
2 , on cherche à résoudre le système
X = x + f (y)
Y = y + f (x)
, dont les inconnues sont x et y.
Ce système est équivalent au système
x + f (Y − f (x)) = X
y = Y − f (x)
Pour montrer que la première équation admet une solution unique, on étudie la
fonction w : t → t + f (Y − f (t)). Cette fonction est de classe C
1 sur R et
w
(t) = 1 − f
(t) f
(Y − f (t)), donc w
(t) 1 − k
2 > 0 pour tout réel t, donc w est
strictement croissante.
Pour tout t > 0, on intègre cette inégalité de 0 à t, ce qui donne w(t)−w(0) (1−k
2 )t,
donc lim
t→+∞
w(t) = +∞. Pour tout t < 0, on intègre de t à 0, ce qui donne
w(0) − w(t) −(1 − k
2 )t, donc lim
t→−∞
w(t) = −∞. En conséquence, w est une
bijection de R sur R, donc il existe un unique réel x tel que w(x) = X . Le système proposé admet une unique solution, donc g est bijective, c’est donc un C
1
difféomorphisme de R
2 sur R
2 .
Exercice 14.21
Centrale PC 2007 K
• Soit g : R
2
→ R de classe C
1 , et F : x →
x
0
g(t, x) dt. Montrer que F est de
classe C
1 et exprimer F
en fonction de g et de ses dérivées.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
On peut expliciter le résultat obtenu :
∂ I
∂x
(x, y) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
(x − y)
1
x − (ln x − ln y)
(x − y) 2
si x = y
−
1
2x 2
si x = y
.
14.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 14.20
Mines-Ponts PSI 2005K
Soient k ∈ ] 0, 1 [ et f une fonction de classe C
1 de R dans R telle que
∀x ∈ R, | f
(x)| k. Soit g l’application de R
2 dans R
2 définie par
g(x, y) = (x + f (y), y + f (x)). Montrer que g est un C
1 difféomorphisme
de R
2 sur R
2 .
La fonction g est de classe C
1 sur R
2 , et son jacobien est égal à
1
f
(y)
f
(x)
1
, qui
est égal à 1 − f
(x) f
(y). Cette expression est supérieure ou égale à 1 − k
2 , donc ne
s’annule pas.
Montrons que g est bijective. Soit (X , Y ) ∈ R
2 , on cherche à résoudre le système
X = x + f (y)
Y = y + f (x)
, dont les inconnues sont x et y.
Ce système est équivalent au système
x + f (Y − f (x)) = X
y = Y − f (x)
Pour montrer que la première équation admet une solution unique, on étudie la
fonction w : t → t + f (Y − f (t)). Cette fonction est de classe C
1 sur R et
w
(t) = 1 − f
(t) f
(Y − f (t)), donc w
(t) 1 − k
2 > 0 pour tout réel t, donc w est
strictement croissante.
Pour tout t > 0, on intègre cette inégalité de 0 à t, ce qui donne w(t)−w(0) (1−k
2 )t,
donc lim
t→+∞
w(t) = +∞. Pour tout t < 0, on intègre de t à 0, ce qui donne
w(0) − w(t) −(1 − k
2 )t, donc lim
t→−∞
w(t) = −∞. En conséquence, w est une
bijection de R sur R, donc il existe un unique réel x tel que w(x) = X . Le système proposé admet une unique solution, donc g est bijective, c’est donc un C
1
difféomorphisme de R
2 sur R
2 .
Exercice 14.21
Centrale PC 2007 K
• Soit g : R
2
→ R de classe C
1 , et F : x →
x
0
g(t, x) dt. Montrer que F est de
classe C
1 et exprimer F
en fonction de g et de ses dérivées.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit