344 Chap. 14. Calcul différentiel
3) Démontrer que la fonction I est de classe C
1 sur (R
∗
+ )
2 . Pour x > 0 et y > 0,
quelle est la valeur de
∂ I
∂x
(x, y) ?
1) On remarque tout d’abord que, pour t = 1, w(t) est le taux de variation de la
fonction f : t → ln t entre 1 et t et a pour limite f
(1) = 1 quand t tend vers 1.
Donc on peut prolonger w en une fonction ˜
w continue en 1. On aura alors ˜
w(1) = 1.
La fonction w est de classe C
∞ sur les intervalles ] 0, 1 [ et ] 1, +∞ [ comme
quotient de fonctions de classe C
∞ .
Etudions ˜
w dans l’ensemble ] 0, 2 [ . L’application u → 1 − u étant une bijection
de ] −1, 1 [ sur ] 0, 2 [ , on peut considérer la fonction c définie sur ] −1, 1 [
par c(u) = ˜
w(1 − u). En utilisant le développement en série entière dans l’intervalle ] −1, 1 [ de la fonction u → − ln(1 − u). Pour u ∈ ] −1, 1 [ , on a
− ln(1 − u) =
+∞
n=1
u
n
n
, et donc c(u) =
+∞
n=0
u
n
n + 1
lorsque u est non nul, mais aussi
pour u = 0 car c(0) = 1. Il en résulte que c est de classe C
∞ sur ] −1, 1 [ , et donc
que ˜
w : t → c(1 − t) est de classe C
∞ sur ] 0, 2 [ .
Finalement ˜
w est de classe C
∞ sur ] 0, +∞ [ . De plus ˜
w
(1) = −c
(0) = −1/2.
2.a Pour x et y dans R
∗
+ , on a
1
(1 + xt)(1 + yt)
∼
t→+∞
1
x yt 2 > 0 , et comme l’intégrale
+∞
1
dt
t 2 converge, il en résulte que l’intégrale I (x, y) converge.
2.b On obtient I (x, x) = lim
A→+∞
A
0
dt
(1 + xt) 2 = lim
A→+∞
−1
x(1 + xt)
A
0
=
1
x
.
2.c Soient x et y distincts dans R
∗
+ . Par réduction au même dénominateur, on obtient
que, pour tout t 0, on a
1
(1 + xt)(1 + yt)
=
x
x − y
1
1 + xt
−
y
x − y
1
1 + yt
. Donc
I (x, y) = lim
A→+∞
A
0
dt
(1 + xt)(1 + yt)
= lim
A→+∞
1
x − y
ln(1 + xt) −
1
x − y
ln(1 + yt)
A
0
= lim
A→+∞
1
x − y
ln
1 + Ax
1 + Ay
=
1
x − y
ln
x
y
=
ln x − ln y
x − y
.
3) On peut exprimer I (x, y) en fonction de ˜
w. En effet, lorsque x = y, on a
I (x, y) =
1
y
˜
w
x
y
, et cette formule est encore vraie lorsque x = y puisque
˜
w(1) = 1 . Donc I est obtenue par composition et produit de fonctions C
∞ sur
(R
∗
+ )
2 . Elle est donc C
∞ sur (R
∗
+ )
2 , et l’on obtient
∂ I
∂x
(x, y) =
1
y 2 ˜
w
x
y
.
3) Démontrer que la fonction I est de classe C
1 sur (R
∗
+ )
2 . Pour x > 0 et y > 0,
quelle est la valeur de
∂ I
∂x
(x, y) ?
1) On remarque tout d’abord que, pour t = 1, w(t) est le taux de variation de la
fonction f : t → ln t entre 1 et t et a pour limite f
(1) = 1 quand t tend vers 1.
Donc on peut prolonger w en une fonction ˜
w continue en 1. On aura alors ˜
w(1) = 1.
La fonction w est de classe C
∞ sur les intervalles ] 0, 1 [ et ] 1, +∞ [ comme
quotient de fonctions de classe C
∞ .
Etudions ˜
w dans l’ensemble ] 0, 2 [ . L’application u → 1 − u étant une bijection
de ] −1, 1 [ sur ] 0, 2 [ , on peut considérer la fonction c définie sur ] −1, 1 [
par c(u) = ˜
w(1 − u). En utilisant le développement en série entière dans l’intervalle ] −1, 1 [ de la fonction u → − ln(1 − u). Pour u ∈ ] −1, 1 [ , on a
− ln(1 − u) =
+∞
n=1
u
n
n
, et donc c(u) =
+∞
n=0
u
n
n + 1
lorsque u est non nul, mais aussi
pour u = 0 car c(0) = 1. Il en résulte que c est de classe C
∞ sur ] −1, 1 [ , et donc
que ˜
w : t → c(1 − t) est de classe C
∞ sur ] 0, 2 [ .
Finalement ˜
w est de classe C
∞ sur ] 0, +∞ [ . De plus ˜
w
(1) = −c
(0) = −1/2.
2.a Pour x et y dans R
∗
+ , on a
1
(1 + xt)(1 + yt)
∼
t→+∞
1
x yt 2 > 0 , et comme l’intégrale
+∞
1
dt
t 2 converge, il en résulte que l’intégrale I (x, y) converge.
2.b On obtient I (x, x) = lim
A→+∞
A
0
dt
(1 + xt) 2 = lim
A→+∞
−1
x(1 + xt)
A
0
=
1
x
.
2.c Soient x et y distincts dans R
∗
+ . Par réduction au même dénominateur, on obtient
que, pour tout t 0, on a
1
(1 + xt)(1 + yt)
=
x
x − y
1
1 + xt
−
y
x − y
1
1 + yt
. Donc
I (x, y) = lim
A→+∞
A
0
dt
(1 + xt)(1 + yt)
= lim
A→+∞
1
x − y
ln(1 + xt) −
1
x − y
ln(1 + yt)
A
0
= lim
A→+∞
1
x − y
ln
1 + Ax
1 + Ay
=
1
x − y
ln
x
y
=
ln x − ln y
x − y
.
3) On peut exprimer I (x, y) en fonction de ˜
w. En effet, lorsque x = y, on a
I (x, y) =
1
y
˜
w
x
y
, et cette formule est encore vraie lorsque x = y puisque
˜
w(1) = 1 . Donc I est obtenue par composition et produit de fonctions C
∞ sur
(R
∗
+ )
2 . Elle est donc C
∞ sur (R
∗
+ )
2 , et l’on obtient
∂ I
∂x
(x, y) =
1
y 2 ˜
w
x
y
.