14.2 Exercices d’entraînement 343
2) On a sin(x + iy) =
1
2i
(e
i x−y
− e
−i x+y ) =
1
2i
((e
−y
− e
y ) cos x + i(e
−y + e
y ) sin x) .
Donc f (x, y) =
1
4
((e
−y
− e
y )
2 cos
2 x + (e
−y + e
y )
2 sin
2 x) . En développant, il vient
f (x, y) =
1
4
(e
−2y + e
2y
− 2 cos
2 x + 2 sin
2 x) =
1
2
(ch(2y) − cos(2x)) .
3.a On cherche les points (x, y) de D tels que
∂ f
∂x
(x, y) =
∂ f
∂ y
(x, y) = 0, c’està-dire sin(2x) = sh(2y) = 0, ou encore x = kp/2 avec k ∈ Z et y = 0. Comme
p/2 > 1, la seule solution dans D est le point (0, 0).
3.b Si f atteignait son maximum en un point (x 0 , y 0 ) de D, ce serait un point critique
de f . Mais le seul point critique de f dans D est le point (0, 0) où f atteint son
minimum. Il en résulte que le maximum est atteint au bord de D
, donc sur le cercle
de centre (0, 0) et de rayon 1. Il existe alors u 0 tel que (x 0 , y 0 ) = (cos u 0 , sin u 0 ).
4.a On peut démontrer les inégalités proposées de diverses manières : en étudiant
les variations des fonctions t → sh t − t et t → t − sin t, en utilisant le théorème
des accroissements finis pour les fonctions sinus et sinus hyperbolique, ou encore en
utilisant la convexité.
4.b La fonction g est dérivable sur R et g
(u) = cos u sh(2 sin u) − sin u sin(2 cos u).
Sur [ 0, p/2 ] , on a sin u 0 et donc sh(2 sin u) 2 sin u. On a également
cos u 0, donc sin(2 cos u) 2 cos u.
On en déduit que g
(u) 2 sin u cos u − 2 sin u cos u = 0 . La fonction g est donc
croissante sur [ 0, p/2 ]
4.c La fonction g est 2p−périodique et paire. De plus g(p − u) = g(u). Il en résulte
que max
(x,y)∈D
f (x, y) = max
u∈R
g(u) = max
u∈ [ 0, p/2 ]
g(u) = g(p/2) =
ch 2 − 1
2
.
Exercice 14.19
CCP PC 2005, Centrale PC 2005
1) Montrer que la fonction w définie par w(t) =
ln t
t − 1
se prolonge en une fonction ˜
w de classe C
∞ sur ] 0, +∞ [ et donner les valeurs de ˜
w(1) et ˜
w
(1).
2) Pour x et y dans R
∗
+ , on pose I (x, y) =
+∞
0
dt
(1 + xt)(1 + yt)
.
2.a Montrer que I (x, y) est une intégrale convergente.
2.b Pour x > 0, calculer I (x, x).
2.c Pour x et y distincts dans R
∗
+ , montrer qu’il existe deux réels a et b tels que
1
(1 + xt)(1 + yt)
=
a
1 + xt
+
b
1 + yt
. En déduire la valeur de I (x, y) en fonction
de x et de y.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2) On a sin(x + iy) =
1
2i
(e
i x−y
− e
−i x+y ) =
1
2i
((e
−y
− e
y ) cos x + i(e
−y + e
y ) sin x) .
Donc f (x, y) =
1
4
((e
−y
− e
y )
2 cos
2 x + (e
−y + e
y )
2 sin
2 x) . En développant, il vient
f (x, y) =
1
4
(e
−2y + e
2y
− 2 cos
2 x + 2 sin
2 x) =
1
2
(ch(2y) − cos(2x)) .
3.a On cherche les points (x, y) de D tels que
∂ f
∂x
(x, y) =
∂ f
∂ y
(x, y) = 0, c’està-dire sin(2x) = sh(2y) = 0, ou encore x = kp/2 avec k ∈ Z et y = 0. Comme
p/2 > 1, la seule solution dans D est le point (0, 0).
3.b Si f atteignait son maximum en un point (x 0 , y 0 ) de D, ce serait un point critique
de f . Mais le seul point critique de f dans D est le point (0, 0) où f atteint son
minimum. Il en résulte que le maximum est atteint au bord de D
, donc sur le cercle
de centre (0, 0) et de rayon 1. Il existe alors u 0 tel que (x 0 , y 0 ) = (cos u 0 , sin u 0 ).
4.a On peut démontrer les inégalités proposées de diverses manières : en étudiant
les variations des fonctions t → sh t − t et t → t − sin t, en utilisant le théorème
des accroissements finis pour les fonctions sinus et sinus hyperbolique, ou encore en
utilisant la convexité.
4.b La fonction g est dérivable sur R et g
(u) = cos u sh(2 sin u) − sin u sin(2 cos u).
Sur [ 0, p/2 ] , on a sin u 0 et donc sh(2 sin u) 2 sin u. On a également
cos u 0, donc sin(2 cos u) 2 cos u.
On en déduit que g
(u) 2 sin u cos u − 2 sin u cos u = 0 . La fonction g est donc
croissante sur [ 0, p/2 ]
4.c La fonction g est 2p−périodique et paire. De plus g(p − u) = g(u). Il en résulte
que max
(x,y)∈D
f (x, y) = max
u∈R
g(u) = max
u∈ [ 0, p/2 ]
g(u) = g(p/2) =
ch 2 − 1
2
.
Exercice 14.19
CCP PC 2005, Centrale PC 2005
1) Montrer que la fonction w définie par w(t) =
ln t
t − 1
se prolonge en une fonction ˜
w de classe C
∞ sur ] 0, +∞ [ et donner les valeurs de ˜
w(1) et ˜
w
(1).
2) Pour x et y dans R
∗
+ , on pose I (x, y) =
+∞
0
dt
(1 + xt)(1 + yt)
.
2.a Montrer que I (x, y) est une intégrale convergente.
2.b Pour x > 0, calculer I (x, x).
2.c Pour x et y distincts dans R
∗
+ , montrer qu’il existe deux réels a et b tels que
1
(1 + xt)(1 + yt)
=
a
1 + xt
+
b
1 + yt
. En déduire la valeur de I (x, y) en fonction
de x et de y.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit