342 Chap. 14. Calcul différentiel
On en déduit que f est de classe C
1 (intégrale fonction de ses bornes), et
∂ f
∂x
(x, y) = c(ax + y) + c(−ax + y) + l
x
2
∂ f
∂ y
(x, y) =
1
a
c(ax + y) −
1
a
c(−ax + y) − l
y
8
Comme c est de classe C
1 , f est aussi de classe C
2 , et en dérivant :
∂
2 f
∂x 2 (x, y) = ac
(ax + y) − ac
(−ax + y) +
l
2
∂
2 f
∂ y 2 (x, y) =
1
a
c
(ax + y) −
1
a
c
(−ax + y) −
l
8
Par conséquent,
∂
2 f
∂x 2 (x, y) − 4
∂
2 f
∂ y 2 (x, y) =
a −
4
a
c
(ax + y) − c
(−ax + y)
+ l.
On en déduit que f ∈ E pour tout choix de c si et seulement si l = a et
a −
4
a
= 0, d’où a = 2.
Exercice 14.18
CCP PC 2007
Pour tout z ∈ C, on pose sin z =
e
i z
− e
−i z
2i
, et on considère la fonction f définie
sur R
2 par f (x, y) = | sin(x + iy)|
2 . Soit D
= {(x, y) ∈ R
2
| x
2 + y
2
1}.
1) Montrer que f admet sur D
un maximum et un minimum. Déterminer la
valeur du minimum de f sur D
.
2) Montrer que pour tout couple (x, y) ∈ R
2 , on a l’égalité
f (x, y) =
1
2
(ch(2y) − cos(2x)) .
3) Soit D = {(x, y) ∈ R
2
| x
2 + y
2 < 1}.
3.a Déterminer les points critiques de f sur D.
2.b Montrer qu’il existe u 0 ∈ R tel que max
(x,y)∈D
f (x, y) = f (cos u 0 , sin u 0 ) .
4) Soit la fonction g définie sur R par g(u) = f (cos u, sin u).
4.a Vérifier que pour tout t ∈ R
+ , on a sh t t et sin t t.
4.b Montrer que g est croissante sur [ 0, p/2 ] .
4.c En déduire la valeur du maximum de f sur D
.
1) Comme f est une fonction continue sur D
qui est un ensemble fermé borné, alors
f est bornée sur D
et y atteint ses bornes. De plus, pour tout couple (x, y) ∈ D
, on
a f (x, y) 0 = f (0, 0). Donc f atteint son minimum en (0, 0) et ce minimum est
nul.