14.2 Exercices d’entraînement 341
Exercice 14.17
CCP PC 2007
Soient a un réel et E l’ensemble des fonctions f : R
2
→ R de classe C
2 vérifiant
l’équation aux dérivées partielles
∂
2 f
∂x 2 − 4
∂
2 f
∂ y 2 = a .
1. Montrer que la fonction f : (x, y) → (2x + y, 2x − y) est un C
2 difféomorphisme de R
2 sur R
2 .
2. Soit f : R
2
→ R de classe C
2 . Montrer que f appartient à E si et seulement
si la fonction g = f ◦ f
−1 vérifie
∂
2 g
∂u∂v
=
a
16
. En déduire l’ensemble E.
3. Soit c : R → R de classe C
1 et a > 0. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur l et a pour que la fonction f définie sur R
2 par
f (x, y) =
x
−x
c(at + y) dt + l
x
2
4
−
y
2
16
appartienne à E quelle que soit
la fonction c.
1. L’application f est linéaire de déterminant égal à
2
1
2 −1
= −4 donc est un
isomorphisme de R
2 sur R
2 , donc un C
2 difféomorphisme de R
2 sur lui-même.
2. La relation g = f ◦ f
−1 équivaut à f = g ◦ f, donc f est de classe C
2
si et seulement si g l’est. On pose f (x, y) = g(2x + y, 2x − y), et on écrit
(u = 2x + y, v = 2x − y). Les dérivées partielles de f sont évaluées en (x, y)
et celles de g en (u, v), ce qu’on ne précisera pas afin d’alléger les notations.
∂ f
∂x
= 2
∂g
∂u
+ 2
∂g
∂v
,
∂ f
∂ y
=
∂g
∂u
−
∂g
∂v
.
∂
2 f
∂x 2 = 2(2
∂
2 g
∂u 2 + 2
∂
2 g
∂v∂u
) + 2(2
∂
2 g
∂u∂v
+ 2
∂
2 g
∂v 2 ) = 4
∂
2 g
∂u 2 + 8
∂
2 g
∂u∂v
+ 4
∂
2 g
∂v 2 .
De même,
∂
2 f
∂ y 2 =
∂
2 g
∂u 2 − 2
∂
2 g
∂u∂v
+
∂
2 g
∂v 2 . Ainsi, f ∈ E équivaut à 16
∂
2 g
∂u∂v
= a,
c’est-à-dire qu’il existe A 1 ∈ C
1 (R
2 , R) telle que
∂g
∂v
=
a
16
u + A 1 (v),
ce qui équivaut à l’existence de deux fonctions A et B dans C
2 (R
2 , R) telles que
∀(u, v) ∈ R
2 , g(u, v) =
a
16
uv + A(u) + B(v). Finalement,
E = {(x, y) →
a
16
(4x
2
− y
2 ) + A(2x + y) + B(2x − y), A, B ∈ C
2 (R
2 , R)} .
3. Le changement de variable u = at + y donne
f (x, y) =
1
a
ax+y
−ax+y
c(u) du + l
x
2
4
−
y
2
16
.
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