340 Chap. 14. Calcul différentiel
2. Soit f ∈ C
2 (U , R). Montrer qu’il existe une unique fonction g : (u, v) → g(u, v)
de classe C
2 sur U telle que f = g ◦ f.
3. Démontrer que, pour tout (u, v) ∈ U , on a :
∂
2 g
∂u 2 (u, v) =
∂
2 f
∂x 2 (u, uv) + 2v
∂
2 f
∂x∂ y
(u, uv) + v
2 ∂
2 f
∂ y 2 (u, uv) .
4. Trouver les fonctions f ∈ C
2 (U , R) vérifiant : x
2 ∂
2 f
∂x 2 +2x y
∂
2 f
∂x∂ y
+y
2 ∂
2 f
∂ y 2 = 0.
1. Soit c : U → U défini par c(u, v) = (u, uv). Les fonctions f et c sont de classe
C
2 sur U , et c ◦ f = f ◦ c = Id U , donc f est un C
2 difféomorphisme de U sur
lui-même, dont le difféomorphisme réciproque est c.
2. La relation f = g ◦ f est équivalente à g = f ◦ c, et si f est de classe C
2 sur U ,
alors g également en tant que composée de deux applications de classe C
2 .
3. D’après la question précédente, g(u, v) = f (u, uv) pour tout (u, v) ∈ U
2 .
On dérive cette relation par rapport à u :
∂g
∂u
(u, v) =
∂ f
∂x
(u, uv) + v
∂ f
∂ y
(u, uv). On
recommence :
∂
2 g
∂u 2 (u, v) =
∂
2 f
∂x 2 (u, uv) + v
∂
2 f
∂ y∂x
(u, uv) + v
∂
2 f
∂x∂ y
(u, uv) + v
2 ∂
2 f
∂ y 2 (u, uv)
=
∂
2 f
∂x 2 (u, uv) + 2v
∂
2 f
∂x∂ y
(u, uv) + v
2 ∂
2 f
∂ y 2 (u, uv)
par théorème de Schwarz.
4. En multipliant la relation précédente par u
2 , on obtient en posant (x, y) = c(u, v),
l’égalité u
2 ∂
2 g
∂u 2 = x
2 ∂
2 f
∂x 2 + 2x y
∂
2 f
∂x∂ y
+ y
2 ∂
2 f
∂ y 2 .
La fonction f est solution de l’équation proposée si et seulement si la fonction
g = f ◦ c satisfait à la relation
∂
2 g
∂u 2 = 0 dans U , ce qui équivaut à l’existence
d’une fonction A de R dans R telle que ∀(u, v) ∈ U ,
∂g
∂u
(u, v) = A(v).
En intégrant, cela revient à l’existence de deux fonctions A et B de R dans R telles
que ∀(u, v) ∈ U , g(u, v) = A(v)u + B(v).
En particulier, g(1, v) = A(v) + B(v) et g(2, v) = 2A(v) + B(v) ce qui donne
A(v) = g(2, v) − g(1, v) et B(v) = 2g(1, v) − g(2, v). On en déduit que A et B
sont de classe C
2 sur R. Finalement, les solutions sont de la forme
f (x, y) = A(y/x)x + B(y/x) .
où A et B décrivent à C
2 (R, R).
N.B. On aurait également pu résoudre cette équation en passant en polaires, c’està-dire à l’aide du changement de variables (x = r cos u, y = r sin u).
2. Soit f ∈ C
2 (U , R). Montrer qu’il existe une unique fonction g : (u, v) → g(u, v)
de classe C
2 sur U telle que f = g ◦ f.
3. Démontrer que, pour tout (u, v) ∈ U , on a :
∂
2 g
∂u 2 (u, v) =
∂
2 f
∂x 2 (u, uv) + 2v
∂
2 f
∂x∂ y
(u, uv) + v
2 ∂
2 f
∂ y 2 (u, uv) .
4. Trouver les fonctions f ∈ C
2 (U , R) vérifiant : x
2 ∂
2 f
∂x 2 +2x y
∂
2 f
∂x∂ y
+y
2 ∂
2 f
∂ y 2 = 0.
1. Soit c : U → U défini par c(u, v) = (u, uv). Les fonctions f et c sont de classe
C
2 sur U , et c ◦ f = f ◦ c = Id U , donc f est un C
2 difféomorphisme de U sur
lui-même, dont le difféomorphisme réciproque est c.
2. La relation f = g ◦ f est équivalente à g = f ◦ c, et si f est de classe C
2 sur U ,
alors g également en tant que composée de deux applications de classe C
2 .
3. D’après la question précédente, g(u, v) = f (u, uv) pour tout (u, v) ∈ U
2 .
On dérive cette relation par rapport à u :
∂g
∂u
(u, v) =
∂ f
∂x
(u, uv) + v
∂ f
∂ y
(u, uv). On
recommence :
∂
2 g
∂u 2 (u, v) =
∂
2 f
∂x 2 (u, uv) + v
∂
2 f
∂ y∂x
(u, uv) + v
∂
2 f
∂x∂ y
(u, uv) + v
2 ∂
2 f
∂ y 2 (u, uv)
=
∂
2 f
∂x 2 (u, uv) + 2v
∂
2 f
∂x∂ y
(u, uv) + v
2 ∂
2 f
∂ y 2 (u, uv)
par théorème de Schwarz.
4. En multipliant la relation précédente par u
2 , on obtient en posant (x, y) = c(u, v),
l’égalité u
2 ∂
2 g
∂u 2 = x
2 ∂
2 f
∂x 2 + 2x y
∂
2 f
∂x∂ y
+ y
2 ∂
2 f
∂ y 2 .
La fonction f est solution de l’équation proposée si et seulement si la fonction
g = f ◦ c satisfait à la relation
∂
2 g
∂u 2 = 0 dans U , ce qui équivaut à l’existence
d’une fonction A de R dans R telle que ∀(u, v) ∈ U ,
∂g
∂u
(u, v) = A(v).
En intégrant, cela revient à l’existence de deux fonctions A et B de R dans R telles
que ∀(u, v) ∈ U , g(u, v) = A(v)u + B(v).
En particulier, g(1, v) = A(v) + B(v) et g(2, v) = 2A(v) + B(v) ce qui donne
A(v) = g(2, v) − g(1, v) et B(v) = 2g(1, v) − g(2, v). On en déduit que A et B
sont de classe C
2 sur R. Finalement, les solutions sont de la forme
f (x, y) = A(y/x)x + B(y/x) .
où A et B décrivent à C
2 (R, R).
N.B. On aurait également pu résoudre cette équation en passant en polaires, c’està-dire à l’aide du changement de variables (x = r cos u, y = r sin u).