14.2 Exercices d’entraînement 339
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
1
2
3
4
5
6
7
−1
V
Exercice 14.15
Mines-Ponts PSI 2005
Soient f : R
∗
+ → R de classe C
2 et g la fonction définie sur (R
∗
+ )
2 par
g(x, y) = f
x
2 + y
2
y
. Déterminer les fonctions f telles que
∂
2 g
∂x 2 +
∂
2 g
∂ y 2 = 0.
La fonction g est de classe C
2 sur (R
∗
+ )
2 par théorèmes généraux. On dérive :
∂g
∂x
(x, y) =
2x
y
f
x
2 + y
2
y
,
∂g
∂ y
(x, y) =
y
2
− x
2
y 2 f
x
2 + y
2
y
∂
2 g
∂x 2 (x, y) =
4x
2
y 2 f
x
2 + y
2
y
+
2
y
f
x
2 + y
2
y
∂
2 g
∂ y 2 (x, y) =
y
2
− x
2
y 2
2
f
x
2 + y
2
y
+
2x
2
y 3 f
x
2 + y
2
y
On pose t =
x
2 + y
2
y
, qui décrit ] 0, +∞ [ quand (x, y) décrit (R
∗
+ )
2 .
L’équation aux dérivées partielles
∂
2 g
∂x 2 +
∂
2 g
∂ y 2 = 0 équivaut à ∀t > 0, t f
(t)+2 f
(t) = 0.
La fonction f
est solution d’une équation linéaire du premier ordre, qui se résout
en f
(t) = A 1 /t
2 . En intégrant, on en déduit que les solutions du problème sont les
fonctions f de la forme t →
A
t
+ B, où A et B sont des constantes réelles.
Exercice 14.16
CCP PC 2007
Soit f définie sur U = ] 0, +∞ [ ×R par f(x, y) = (x, y/x).
1. Montrer que f définit un C
2 difféomorphisme de U sur U .
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