336 Chap. 14. Calcul différentiel
4. Montrer que f est de classe C
1 sur D. Exprimer ses dérivées partielles à l’aide
de w
.
1. On pose u n (x, y) =
x
n
x n + y n .
• Si x = y, alors u n (x, y) = 1/2 donc la série
u n (x, y) diverge.
• Si x = −y, alors u n (x, y) n’est pas défini pour n impair.
• Si |x| > |y|, alors la suite u n (x, y) tend vers 1, et donc la série
u n (x, y)
diverge.
• Si |x| < |y|, alors |u n (x, y)| ∼
n→∞
|
x
y
|
n , la série
u n (x, y) converge absolument
donc converge. On en déduit que D = {(x, y) ∈ R
2
| |y| > |x|}.
2. L’ensemble D est symétrique par rapport aux deux axes Ox et Oy. On va donc se
limiter à montrer que D∩ ] 0, +∞ [
2 est un ouvert.
Soit (x 0 , y 0 ) ∈ D, avec x 0 > 0 et y 0 > 0. La distance de ce point à la droite y = x
est égale à r 0 =
|x 0 − y 0 |
√
2
. On en déduit que le disque de centre (x 0 , y 0 ) et de
rayon r 0 est inclus dans D, donc D∩ ] 0, +∞ [
2 est un ouvert, et D également.
3. On pose, pour t ∈ ] −1, 1 [ , f n (t) =
t
n
1 + t n . La fonction f n est de classe C
1 et
f
n (t) =
nt
n−1
(1 + t n ) 2 . Soit a ∈ ] 0, 1 [ . On a ∀t ∈ [ −a, a ] , | f
n (t)|
na
n−1
(1 − a n ) 2 = a n .
Or
a n+1
a n
−−−→
n→∞
a, donc la règle de d’Alembert entraîne la convergence de la
série
a n , et donc la série
f
n converge normalement sur [ −a, a ] . Comme
la série
f n converge simplement sur ] −1, 1 [ (car |t| < 1), on en déduit
par théorème sur les séries de fonctions que w est de classe C
1 sur ] −1, 1 [ et
w
(t) =
∞
n=0
f
n (t) =
∞
n=1
nt
n−1
(1 + t n ) 2 .
4. On observe que pour tout (x, y) ∈ D, f (x, y) = w
x
y
. On en déduit que f est
de classe C
1 sur D, ainsi que
∂ f
∂x
(x, y) =
1
y
w
x
y
et
∂ f
∂ y
(x, y) = −
x
y 2 w
x
y
.
Exercice 14.12
Centrale PSI 2005
Soit E = M n (R) et f : E → E définie par f (M) = M
3 . Montrer que f est de
classe C
1 et calculer sa différentielle.
4. Montrer que f est de classe C
1 sur D. Exprimer ses dérivées partielles à l’aide
de w
.
1. On pose u n (x, y) =
x
n
x n + y n .
• Si x = y, alors u n (x, y) = 1/2 donc la série
u n (x, y) diverge.
• Si x = −y, alors u n (x, y) n’est pas défini pour n impair.
• Si |x| > |y|, alors la suite u n (x, y) tend vers 1, et donc la série
u n (x, y)
diverge.
• Si |x| < |y|, alors |u n (x, y)| ∼
n→∞
|
x
y
|
n , la série
u n (x, y) converge absolument
donc converge. On en déduit que D = {(x, y) ∈ R
2
| |y| > |x|}.
2. L’ensemble D est symétrique par rapport aux deux axes Ox et Oy. On va donc se
limiter à montrer que D∩ ] 0, +∞ [
2 est un ouvert.
Soit (x 0 , y 0 ) ∈ D, avec x 0 > 0 et y 0 > 0. La distance de ce point à la droite y = x
est égale à r 0 =
|x 0 − y 0 |
√
2
. On en déduit que le disque de centre (x 0 , y 0 ) et de
rayon r 0 est inclus dans D, donc D∩ ] 0, +∞ [
2 est un ouvert, et D également.
3. On pose, pour t ∈ ] −1, 1 [ , f n (t) =
t
n
1 + t n . La fonction f n est de classe C
1 et
f
n (t) =
nt
n−1
(1 + t n ) 2 . Soit a ∈ ] 0, 1 [ . On a ∀t ∈ [ −a, a ] , | f
n (t)|
na
n−1
(1 − a n ) 2 = a n .
Or
a n+1
a n
−−−→
n→∞
a, donc la règle de d’Alembert entraîne la convergence de la
série
a n , et donc la série
f
n converge normalement sur [ −a, a ] . Comme
la série
f n converge simplement sur ] −1, 1 [ (car |t| < 1), on en déduit
par théorème sur les séries de fonctions que w est de classe C
1 sur ] −1, 1 [ et
w
(t) =
∞
n=0
f
n (t) =
∞
n=1
nt
n−1
(1 + t n ) 2 .
4. On observe que pour tout (x, y) ∈ D, f (x, y) = w
x
y
. On en déduit que f est
de classe C
1 sur D, ainsi que
∂ f
∂x
(x, y) =
1
y
w
x
y
et
∂ f
∂ y
(x, y) = −
x
y 2 w
x
y
.
Exercice 14.12
Centrale PSI 2005
Soit E = M n (R) et f : E → E définie par f (M) = M
3 . Montrer que f est de
classe C
1 et calculer sa différentielle.