14.2 Exercices d’entraînement 335
Si (x, y) est un point critique, alors y = 0 puis
x
|x|
+ 2x = 0. Si x > 0, on obtient
1 + 2x = 0 ce qui est impossible, et si x < 0 on obtient −1 + 2x = 0, ce qui
est également impossible. Il n’y a aucun point critique dans U . Il en résulte que f
atteint ses bornes en (0, 0) ou sur le cercle frontière de K . Si (x, y) ∈ K \ {(0, 0)},
alors f (x, y) > −3 = f (0, 0), donc le minimum absolu de f est atteint à l’origine, et il est strict.
Le maximum est atteint sur le cercle d’équation x
2 + y
2 = 16, sur lequel on a
f (x, y) = 1 + x
2 . Le maximum est atteint lorsque x = ±4, donc y = 0, et il vaut
17.
3. On trace la surface à l’aide de Maple :
with(plots):
plot3d(sqrt(x^2+y^2)+x^2-3,x=-4..4,y=-4..4);
ou, avec Mathematica :
Plot3D[Sqrt[x^2+y^2]+x^2-3,{x,-4,4},{y,-4,4},
RegionPlot->Function[{x,y,z},x^2+y^2<=16]]
4
2
0
2
4
x
4
2
0
2
4
y
0
5
10
15
14.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 14.11
CCP PC 2007
On pose f (x, y) =
∞
n=0
x
n
x n + y n .
1. Montrer que l’ensemble de définition de f est D = {(x, y) ∈ R
2 , |y| > |x|}.
2. Justifier que D est un ouvert.
3. Pour t ∈ ] −1, 1 [ , on pose w(t) =
+∞
n=0
t
n
1 + t n . Montrer que w est de classe C
1
sur ] −1, 1 [ .
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