14.2 Exercices d’entraînement 337
Les coefficients de M
3 sont des polynômes par rapport aux coefficients de M, donc
f est de classe C
1 sur E. Pour calculer sa différentielle au point M, plutôt que
de chercher les dérivées partielles de f par rapport aux n
2 variables de M, on va
déterminer un endomorphisme de E tel que pour tout H au voisinage de 0, on a
f (M + H ) = f (M) + (H ) + o(H ). On aura alors = d f (M).
On a (M + H )
3 = M
3 + M
2 H + M H M + H M
2 + H
2 M + H M H + M H
2 + H
3 .
On remarque que l’application H → M
2 H + M H M + H M
2 est linéaire.
On munit E d’une norme subordonnée, pour laquelle AB A B pour toutes
matrices A et B. On obtient alors
H
2 M + H M H + M H
2 + H
3
3M + H
H
2 .
Cette expression est négligeable devant H . Il en résulte que
∀M ∈ E, ∀H ∈ E, d f (M)(H ) = M
2 H + M H M + H M
2 .
Exercice 14.13
CCP PC 2007
Soit E l’espace vectoriel des fonctions de classe C
∞ de R
2 vers R et a un
nombre réel donné. Pour f ∈ E , on pose V a ( f ) =
∂ f
∂x
+ a
∂ f
∂ y
.
1) Démontrer que V a est un endomorphisme de E .
2) Soit f dans E . Etablir l’existence d’une unique application F de E vérifiant ∀(x, y) ∈ R
2 , f (x, y) = F(x, y − ax). Exprimer les dérivées partielles
premières de F en fonction de celles de f . En déduire le noyau de V a .
3) Déterminer le noyau de V a ◦ V a .
1) Quel que soit f ∈ E , les dérivées partielles
∂ f
∂x
et
∂ f
∂ y
sont dans E , donc V a ( f )
également, et V a est une application de E dans E . Alors, en utilisant la linéarité des
dérivations partielles, on vérifie que, quels que soient l dans R, f et g dans E , on a
V a (l f + g) = lV a ( f ) + V a (g), ce qui montre que V a est une application linéaire.
2) • Considérons l’application linéaire w de R
2 dans lui-même qui à (x, y) associe
(x, y − ax). Si (u, v) appartient à R
2 , alors l’équation w(x, y) = (u, v) a comme
unique solution (x, y) = (u, au + v), et donc w est bijective. Posons c = w
−1 . La
propriété ∀(x, y) ∈ R
2 , f (x, y) = F(x, y − ax) est équivalente à f = F ◦ w puis à
F = f ◦ c. Il existe donc bien une application F et une seule vérifiant la propriété
demandée.
• L’application c étant linéaire est une application C
∞ de R
2 dans R
2 . Alors la composée f ◦ c est une application de classe C
∞ de R
2 dans R. De plus, on obtient les
dérivées partielles de F :
∂ F
∂u
=
∂ f
∂x
◦ c
∂x
∂u
+
∂ f
∂ y
◦ c
∂ y
∂u
=
∂ f
∂x
◦ c + a
∂ f
∂ y
◦ c.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Les coefficients de M
3 sont des polynômes par rapport aux coefficients de M, donc
f est de classe C
1 sur E. Pour calculer sa différentielle au point M, plutôt que
de chercher les dérivées partielles de f par rapport aux n
2 variables de M, on va
déterminer un endomorphisme de E tel que pour tout H au voisinage de 0, on a
f (M + H ) = f (M) + (H ) + o(H ). On aura alors = d f (M).
On a (M + H )
3 = M
3 + M
2 H + M H M + H M
2 + H
2 M + H M H + M H
2 + H
3 .
On remarque que l’application H → M
2 H + M H M + H M
2 est linéaire.
On munit E d’une norme subordonnée, pour laquelle AB A B pour toutes
matrices A et B. On obtient alors
H
2 M + H M H + M H
2 + H
3
3M + H
H
2 .
Cette expression est négligeable devant H . Il en résulte que
∀M ∈ E, ∀H ∈ E, d f (M)(H ) = M
2 H + M H M + H M
2 .
Exercice 14.13
CCP PC 2007
Soit E l’espace vectoriel des fonctions de classe C
∞ de R
2 vers R et a un
nombre réel donné. Pour f ∈ E , on pose V a ( f ) =
∂ f
∂x
+ a
∂ f
∂ y
.
1) Démontrer que V a est un endomorphisme de E .
2) Soit f dans E . Etablir l’existence d’une unique application F de E vérifiant ∀(x, y) ∈ R
2 , f (x, y) = F(x, y − ax). Exprimer les dérivées partielles
premières de F en fonction de celles de f . En déduire le noyau de V a .
3) Déterminer le noyau de V a ◦ V a .
1) Quel que soit f ∈ E , les dérivées partielles
∂ f
∂x
et
∂ f
∂ y
sont dans E , donc V a ( f )
également, et V a est une application de E dans E . Alors, en utilisant la linéarité des
dérivations partielles, on vérifie que, quels que soient l dans R, f et g dans E , on a
V a (l f + g) = lV a ( f ) + V a (g), ce qui montre que V a est une application linéaire.
2) • Considérons l’application linéaire w de R
2 dans lui-même qui à (x, y) associe
(x, y − ax). Si (u, v) appartient à R
2 , alors l’équation w(x, y) = (u, v) a comme
unique solution (x, y) = (u, au + v), et donc w est bijective. Posons c = w
−1 . La
propriété ∀(x, y) ∈ R
2 , f (x, y) = F(x, y − ax) est équivalente à f = F ◦ w puis à
F = f ◦ c. Il existe donc bien une application F et une seule vérifiant la propriété
demandée.
• L’application c étant linéaire est une application C
∞ de R
2 dans R
2 . Alors la composée f ◦ c est une application de classe C
∞ de R
2 dans R. De plus, on obtient les
dérivées partielles de F :
∂ F
∂u
=
∂ f
∂x
◦ c
∂x
∂u
+
∂ f
∂ y
◦ c
∂ y
∂u
=
∂ f
∂x
◦ c + a
∂ f
∂ y
◦ c.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit