332 Chap. 14. Calcul différentiel
• Caractérisation des difféomorphismes : soit U un ouvert de R
p et soit w une
application de classe C
1 de U dans R
p . Si w est injective et si le jacobien de w
est non nul en chaque point de U , alors V = w(U ) est un ouvert de R
p et w est
un difféomorphisme de U sur V .
• Si w est un difféomorphisme de U sur V , alors pour tout a ∈ U , la matrice
J w (a) est inversible et
J w (a)
−1 = J w −1 (w(a)).
Exercice 14.7
CCP PSI 2006
Montrer que w : (x, y, z) →
x + y + z,
y + z
x + y + z
,
z
y + z
est un C
1 difféomorphisme de l’ouvert U = {(x, y, z) ∈ (R
∗
+ )
3 , x + y + z < 1} sur V = ] 0, 1 [
3 .
Déterminer w
−1 .
Pour (x, y, z) ∈ U , on pose (u, v, w) = w(x, y, z). On remarque que (u, v, w) ∈ V ,
et que z = uvw, d’où uv = y + z, d’où y = uv − uvw = uv(1 − w), et enfin
x = u − (y + z) = u(1 − v).
L’application c : V → R
3 définie par c(u, v, w) = (u(1 − v), uv(1 − w), uvw)
est à valeurs dans U car u(1 − v) + uv(1 − w) + uvw = u ∈ ] 0, 1 [ et vérifie par
construction c ◦ w = Id U et w ◦ c = Id V , donc c = w
−1 . D’autre part, w est de
classe C
1 sur U et c est de classe C
1 sur V , donc w est un difféomorphisme de U
sur V .
Exercice 14.8
CCP PC 2007
1. Montrer que l’application f : (x, y) → (x y, x + y) est un difféomorphisme
de l’ouvert U = {(x, y) ∈ R
2 , x − y > 0} sur un ouvert V à préciser et à
représenter.
2. Transformer l’équation aux dérivées partielles
(∗)
∂ f
∂x
(x, y) −
∂ f
∂ y
(x, y) + 3(x − y) f (x, y) = 0
à l’aide du changement de variables : u = x y, v = x + y.
3. En déduire toutes les fonctions f ∈ C
1 (U , R) vérifiant (∗).
1. Soit (x, y) ∈ U . On pose (u, v) = f(x, y), de sorte que x et y sont les racines du
trinôme X
2
− v X + u, dont le discriminant v
2
− 4u est strictement positif. On pose
V = {(u, v) ∈ R
2 , v
2
− 4u > 0}. Il s’agit de l’extérieur de la parabole d’équation
v
2
− 4u = 0.