14.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 331
4. La fonction h
est solution de l’équation linéaire (1 − t
2 )z
− 2t z = t. La solution
de l’équation homogène est de la forme
C
1 − t 2 (C est une constante). La fonction constante égale à −1/2 est solution particulière, donc h
(t) est de la forme
−
1
2
+
C
1 − t 2 , d’où h(t) = −
t
2
+ A ln
1 + t
1 − t
+ B, où (A, B) ∈ R
2 .
Exercice 14.6
CCP PSI 2006
Soit g : ] 0, +∞ [ → R de classe C
2 . Soient n 2 et f la fonction définie sur
R
n
\ {0} par f (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = g(r ) où r =
x 2
1 + x 2
2 + · · · + x 2
n . On note
D f =
n
i=1
∂
2 f
∂x 2
i
le laplacien de f .
1. Montrer que D f (x) = g
(r ) +
n − 1
r
g
(r ).
2. En déduire toutes les fonctions g telles que D f = 0.
1. La racine carrée est de classe C
2 sur ] 0, +∞ [ , donc par théorème de composition, f est de classe C
2 sur R
n
\ {0}. En dérivant deux fois par rapport à x i , on
obtient
∂ f
∂x i
=
x i
r
g
(r ).
∂
2 f
∂x 2
i
=
1
r
−
x i
r 2
∂r
∂x i
g
(r ) +
x
2
i
r 2 g
(r ) =
r
2
− x
2
i
r 3 g
(r ) +
x
2
i
r 2 g
(r ).
En sommant pour i variant de 1 à n, et sachant que r
2 =
n
i=1
x
2
i , on a alors
D f =
n − 1
r
g
(r ) + g
(r ).
2. D f = 0 si et seulement si g
est solution de l’équation linéaire du premier ordre
y
+
n − 1
r
y = 0, c’est-à-dire g
(r ) =
A 1
r n−1 (avec A 1 ∈ R), d’où finalement
g(r ) =
A
r n−2 + B si n 3 et g(r ) = A ln r + B si n = 2 (où A et B sont deux
constantes réelles).
14.1.4 Difféomorphismes
Ce qu’il faut savoir
Soient U et V deux ouverts de R
p .
• On dit que w est un difféomorphisme de U sur V lorsque w est une bijection de
U sur V , w est de classe C
1 sur U et w
−1 est de classe C
1 sur V .
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