330 Chap. 14. Calcul différentiel
Exercice 14.5
St-Cyr PC 2005
Soit h : ] 0, 1 [ → R de classe C
2 . On pose, pour y > 0, f (x, y) = h
x
y
.
1. Déterminer l’ensemble de définition U de f .
2. Calculer les dérivées partielles premières puis secondes de f . Vérifier au passage le théorème de Schwarz.
3. Démontrer que f est solution sur U de l’équation aux dérivées partielles :
∂
2 f
∂x 2 (x, y) −
∂
2 f
∂ y 2 (x, y) =
x
y 3 si et seulement si h vérifie l’équation différentielle (1 − t
2 )h
(t) − 2th
(t) = t sur ]0, 1[.
4. Résoudre cette équation différentielle.
1. La fonction f est définie sur l’ouvert U = {(x, y) ∈ R
2 / 0 < x < y}.
2. La fonction h est de classe C
2 sur ] 0, 1 [ et la fonction (x, y) → x/y est de classe
C
2 sur U donc leur composée f est également de classe C
2 sur U . En calculant les
dérivées partielles premières, on obtient
∂ f
∂x
=
1
y
h
x
y
et
∂ f
∂ y
= −
x
y 2 h
x
y
.
Le calcul des dérivées partielles secondes donne
∂
2 f
∂x 2 =
1
y 2 h
x
y
∂
2 f
∂ y∂x
= −
1
y 2 h
x
y
−
x
y 3 h
x
y
∂
2 f
∂x∂ y
= −
1
y 2 h
x
y
−
x
y 3 h
x
y
∂
2 f
∂ y 2 =
2x
y 3 h
x
y
+
x
2
y 4 h
x
y
On vérifie ainsi, conformément au théorème de Schwarz, que
∂
2 f
∂x∂ y
=
∂
2 f
∂ y∂x
.
3. On déduit du calcul précédent que pour tout (x, y) ∈ U ,
∂
2 f
∂x 2 −
∂
2 f
∂ y 2 =
y
2
− x
2
y 4 h
x
y
− 2
x
y 3 h
x
y
=
1
y 2
(1 −
x
2
y 2 )h
x
y
− 2
x
y
h
x
y
.
Ainsi f vérifie l’équation
∂
2 f
∂x 2 −
∂
2 f
∂ y 2 =
x
y 3 sur U si et seulement si h vérifie sur
l’intervalle ] 0, 1 [ l’équation différentielle (1 − t
2 )h
(t) − 2th
(t) = t.