14.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 329
2. La fonction f est-elle de classe C
2 sur R
2 ?
Indication de la rédaction : calculer
∂
2 f
∂x∂ y
(0, 0) et
∂
2 f
∂ y∂x
(0, 0).
1. La fonction f est de classe C
1 sur R
2
\ {(0, 0)} d’après les théorèmes sur les
sommes, produits et quotients de fonctions de classe C
1 . Les dérivées partielles
∂ f
∂x
et
∂ f
∂ y
sont donc continues sur R
2
\ {(0, 0)}.
• Montrons tout d’abord que f est continue en (0, 0). Puisque, pour tout couple
(x, y) ∈ R
2
\ {(0, 0)}, on a |x
2
− y
2
| x
2 + y
2 , on en déduit que | f (x, y)| |x y|,
et donc f (x, y) tend vers f (0, 0) = 0 lorsque (x, y) tend vers (0, 0). Il en résulte
que f est continue en (0, 0), donc sur R
2 .
• Calculons les dérivées partielles premières.
On remarque que, pour tout (x, y) ∈ R
2 , on a f (x, y) = − f (y, x). Il en résulte
que pour (x, y) = (0, 0), on a
∂ f
∂ y
(x, y) = −
∂ f
∂x
(y, x) . En dérivant par rapport
à x on obtient
∂ f
∂x
(x, y) =
y(x
4
− y
4 + 4x
2 y
2 )
(x 2 + y 2 ) 2
= y
x
2
− y
2
x 2 + y 2 +
4x
2 y
2
(x 2 + y 2 ) 2
.
Par ailleurs,
∂ f
∂x
(0, 0) est la dérivée en 0 de la fonction x → f (x, 0), et puisque
cette fonction est nulle, on a
∂ f
∂x
(0, 0) = 0. De même
∂ f
∂ y
(0, 0) = 0.
• Etudions la continuité des dérivées partielles premières. En utilisant l’inégalité 4uv (u + v)
2 , valable pour tout couple (u, v) de réels, on obtient
∂ f
∂x
(x, y)
|y|
|x
2
− y
2
|
x 2 + y 2 +
4x
2 y
2
(x 2 + y 2 ) 2
2 |y| , et il en résulte que
∂ f
∂x
(x, y) tend vers 0 =
∂ f
∂x
(0, 0), lorsque (x, y) tend vers (0, 0). Donc
∂ f
∂x
est
continue en (0, 0), et finalement sur R
2 tout entier. Il en est de même de
∂ f
∂ y
, et
cela prouve que la fonction f est de classe C
1 sur R
2 .
2. Le problème est visiblement en (0, 0). Remarquons que
∂ f
∂x
(0, y) = −y. Alors,
comme
∂
2 f
∂ y∂x
(0, 0) =
∂
∂ y
∂ f
∂x
(0, 0) est la dérivée en 0 de la fonction
y →
∂ f
∂x
(0, y), on obtient
∂
2 f
∂ y∂x
(0, 0) = −1. De même
∂ f
∂ y
(x, 0) = x et on
obtient cette fois
∂
2 f
∂x∂ y
(0, 0) = 1. On constate donc que
∂
2 f
∂x∂ y
(0, 0) =
∂
2 f
∂ y∂x
(0, 0) .
Il résulte alors du théorème de Schwarz que f n’est pas de classe C
2 sur R
2 .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2. La fonction f est-elle de classe C
2 sur R
2 ?
Indication de la rédaction : calculer
∂
2 f
∂x∂ y
(0, 0) et
∂
2 f
∂ y∂x
(0, 0).
1. La fonction f est de classe C
1 sur R
2
\ {(0, 0)} d’après les théorèmes sur les
sommes, produits et quotients de fonctions de classe C
1 . Les dérivées partielles
∂ f
∂x
et
∂ f
∂ y
sont donc continues sur R
2
\ {(0, 0)}.
• Montrons tout d’abord que f est continue en (0, 0). Puisque, pour tout couple
(x, y) ∈ R
2
\ {(0, 0)}, on a |x
2
− y
2
| x
2 + y
2 , on en déduit que | f (x, y)| |x y|,
et donc f (x, y) tend vers f (0, 0) = 0 lorsque (x, y) tend vers (0, 0). Il en résulte
que f est continue en (0, 0), donc sur R
2 .
• Calculons les dérivées partielles premières.
On remarque que, pour tout (x, y) ∈ R
2 , on a f (x, y) = − f (y, x). Il en résulte
que pour (x, y) = (0, 0), on a
∂ f
∂ y
(x, y) = −
∂ f
∂x
(y, x) . En dérivant par rapport
à x on obtient
∂ f
∂x
(x, y) =
y(x
4
− y
4 + 4x
2 y
2 )
(x 2 + y 2 ) 2
= y
x
2
− y
2
x 2 + y 2 +
4x
2 y
2
(x 2 + y 2 ) 2
.
Par ailleurs,
∂ f
∂x
(0, 0) est la dérivée en 0 de la fonction x → f (x, 0), et puisque
cette fonction est nulle, on a
∂ f
∂x
(0, 0) = 0. De même
∂ f
∂ y
(0, 0) = 0.
• Etudions la continuité des dérivées partielles premières. En utilisant l’inégalité 4uv (u + v)
2 , valable pour tout couple (u, v) de réels, on obtient
∂ f
∂x
(x, y)
|y|
|x
2
− y
2
|
x 2 + y 2 +
4x
2 y
2
(x 2 + y 2 ) 2
2 |y| , et il en résulte que
∂ f
∂x
(x, y) tend vers 0 =
∂ f
∂x
(0, 0), lorsque (x, y) tend vers (0, 0). Donc
∂ f
∂x
est
continue en (0, 0), et finalement sur R
2 tout entier. Il en est de même de
∂ f
∂ y
, et
cela prouve que la fonction f est de classe C
1 sur R
2 .
2. Le problème est visiblement en (0, 0). Remarquons que
∂ f
∂x
(0, y) = −y. Alors,
comme
∂
2 f
∂ y∂x
(0, 0) =
∂
∂ y
∂ f
∂x
(0, 0) est la dérivée en 0 de la fonction
y →
∂ f
∂x
(0, y), on obtient
∂
2 f
∂ y∂x
(0, 0) = −1. De même
∂ f
∂ y
(x, 0) = x et on
obtient cette fois
∂
2 f
∂x∂ y
(0, 0) = 1. On constate donc que
∂
2 f
∂x∂ y
(0, 0) =
∂
2 f
∂ y∂x
(0, 0) .
Il résulte alors du théorème de Schwarz que f n’est pas de classe C
2 sur R
2 .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit