328 Chap. 14. Calcul différentiel
En notant x = (x 1 , . . . , x p ) un vecteur de R
p et y = (y 1 , . . . , y n ) un vecteur de
R
n , on a , pour i ∈ {1, . . . , p} et j ∈ {1, . . . , q},
∂(g ◦ f ) j
∂x i
(a) =
n
k=1
∂g j
∂ y k
( f (a))
∂ f k
∂x i
(a).
Exercice 14.3
Soient I un intervalle de R et f 1 , f 2 , f 3 trois fonctions de I dans R de classe C
1 .
Soit g : R
3
→ R de classe C
1 . Montrer que la fonction h : I → R définie par
h(t) = g( f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)) est de classe C
1 sur I et calculer sa dérivée.
L’application f : t → ( f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)) est de classe C
1 sur I et a pour dérivée
l’application t → ( f
1 (t), f
2 (t), f
3 (t)). Par composition, l’application h = g ◦ f est
également de classe C
1 sur I , et on a, pour tout t ∈ I :
h
(t) = f
1 (t)
∂g
∂x
( f (t)) + f
2 (t)
∂g
∂ y
( f (t)) + f
3 (t)
∂g
∂z
( f (t)) .
14.1.3 Fonction de classe C
k
Ce qu’il faut savoir
Soient U un ouvert de R
p et f une application de classe de U dans R
n . Lorsque f
est de classe C
1 sur U et lorsque les p dérivées partielles de f sont elles mêmes
de classe C
1 sur U , on dit que f est de classe C
2 sur U . La dérivée partielle
∂
∂x i
∂ f
∂x j
est notée
∂
2 f
∂x i ∂x j
.
Théorème de Schwarz : si f est de classe C
2 sur U , et si i, j ∈ {1, . . . , p}, alors
∂
2 f
∂x i ∂x j
=
∂
2 f
∂x j ∂x i
.
On définit par le même procédé la notion de fonction de classe C
k .
Exercice 14.4
Centrale PC 2007
Soit f la fonction définie sur R
2 par f (0, 0) = 0 et f (x, y) = x y
x
2
− y
2
x 2 + y 2 si
(x, y) = (0, 0).
1. Montrer que f est de classe C
1 sur R
2 .