14.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 327
• Différentielle en un point (filière PC)
Si f est une application de classe C
1 sur U alors f admet en tout point
de U une dérivée selon tout vecteur h = (h 1 , . . . , h p ) ∈ R
p donnée par
D h f (a) =
p
j=1
h j
∂ f
∂x j
(a). L’application h → D h f (a) est linéaire. On l’appelle
différentielle de f en a et on la note d f (a).
Exercice 14.2
spécifique PSI
Soient E = R
3 muni du produit scalaire usuel, et u un endomorphisme de E.
Montrer que l’application f : E → E définie par f (x) = x ∧ u(x) est de classe
C
1 et calculer sa différentielle.
Soit x ∈ R
3 . En décomposant le vecteur x dans la base canonique de R
3 , on observe
que les coordonnées de f (x) sont polynomiales (du second degré) par rapport à celles
de x, donc f admet des dérivées partielles qui sont continues sur E, d’où f est de
classe C
1 . Soit h dans R
3 , on a
f (x + h) = (x + h) ∧ (u(x) + u(h)) = f (x) + x ∧ u(h) + h ∧ u(x) + h ∧ u(h).
L’application h → x ∧ u(h) + h ∧ u(x) est linéaire. De plus, on a
h ∧ u(h) hu(h) et lim
h→0
u(h) = 0
puisque toute application linéaire sur R
3 est continue, donc h ∧ u(h) = o(h). Il
en résulte que d f (x)(h) = x ∧ u(h) + h ∧ u(x).
14.1.2 Matrice jacobienne, composition
Ce qu’il faut savoir
Soient U un ouvert de R
p , f une application de classe C
1 de U dans R
n et
a = (a 1 , . . . , a p ) ∈ U .
• On appelle matrice jacobienne de f en a, la matrice de l’application linéaire
d f (a) dans les bases canoniques de R
p et R
n . On la note J f (a). Le terme général de J f (a) est
∂ f i
∂x j
(a) où f 1 , . . . , f n désignent les composantes de f .
Lorsque n = p, on appelle jacobien de f en a le déterminant de la matrice
J f (a), et on le note j f (a).
• Soient V un ouvert de R
n contenant f (U ) et g une application de classe C
1 de
V dans R
q . La fonction g ◦ f est de classe C
1 sur U et
d(g ◦ f )(a) = dg( f (a)) ◦ d f (a).
Par conséquent J g◦ f (a) = J g ( f (a)) J f (a).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
• Différentielle en un point (filière PC)
Si f est une application de classe C
1 sur U alors f admet en tout point
de U une dérivée selon tout vecteur h = (h 1 , . . . , h p ) ∈ R
p donnée par
D h f (a) =
p
j=1
h j
∂ f
∂x j
(a). L’application h → D h f (a) est linéaire. On l’appelle
différentielle de f en a et on la note d f (a).
Exercice 14.2
spécifique PSI
Soient E = R
3 muni du produit scalaire usuel, et u un endomorphisme de E.
Montrer que l’application f : E → E définie par f (x) = x ∧ u(x) est de classe
C
1 et calculer sa différentielle.
Soit x ∈ R
3 . En décomposant le vecteur x dans la base canonique de R
3 , on observe
que les coordonnées de f (x) sont polynomiales (du second degré) par rapport à celles
de x, donc f admet des dérivées partielles qui sont continues sur E, d’où f est de
classe C
1 . Soit h dans R
3 , on a
f (x + h) = (x + h) ∧ (u(x) + u(h)) = f (x) + x ∧ u(h) + h ∧ u(x) + h ∧ u(h).
L’application h → x ∧ u(h) + h ∧ u(x) est linéaire. De plus, on a
h ∧ u(h) hu(h) et lim
h→0
u(h) = 0
puisque toute application linéaire sur R
3 est continue, donc h ∧ u(h) = o(h). Il
en résulte que d f (x)(h) = x ∧ u(h) + h ∧ u(x).
14.1.2 Matrice jacobienne, composition
Ce qu’il faut savoir
Soient U un ouvert de R
p , f une application de classe C
1 de U dans R
n et
a = (a 1 , . . . , a p ) ∈ U .
• On appelle matrice jacobienne de f en a, la matrice de l’application linéaire
d f (a) dans les bases canoniques de R
p et R
n . On la note J f (a). Le terme général de J f (a) est
∂ f i
∂x j
(a) où f 1 , . . . , f n désignent les composantes de f .
Lorsque n = p, on appelle jacobien de f en a le déterminant de la matrice
J f (a), et on le note j f (a).
• Soient V un ouvert de R
n contenant f (U ) et g une application de classe C
1 de
V dans R
q . La fonction g ◦ f est de classe C
1 sur U et
d(g ◦ f )(a) = dg( f (a)) ◦ d f (a).
Par conséquent J g◦ f (a) = J g ( f (a)) J f (a).
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