326 Chap. 14. Calcul différentiel
1. Par les théorèmes généraux, la fonction f est continue sur R
2
\ {(0, 0)}. Par
ailleurs, on a f (r cos u, r sin u) = r
2 (sin
4 u + cos
4 u). Or | cos
4 u + sin
4 u| 2,
donc | f (r cos u, r sin u)| 2r
2 , d’où | f (x, y)| 2(x
2 + y
2 ) pour tout (x, y) ∈ R
2 .
Par conséquent, on a lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = 0, ce qui montre la continuité de f en
(0, 0).
2. Par les théorèmes généraux, la fonction f est de classe C
1 sur R
2
\ {(0, 0)}, et
on a, pour tout (x, y) ∈ R
2
\ {(0, 0)},
∂ f
∂x
(x, y) =
2x
5 + 4x
3 y
2
− 2x y
4
(x 2 + y 2 ) 2
. Comme
f (y, x) = f (x, y), on a aussi par symétrie,
∂ f
∂ y
(x, y) =
∂ f
∂x
(y, x) =
2y
5 + 4y
3 x
2
− 2yx
4
(x 2 + y 2 ) 2
.
3. Pour tout x = 0, on a
f (x, 0) − f (0, 0)
x
=
x
2
x
= x, de limite nulle lorsque x tend
vers 0. Donc
∂ f
∂x
(0, 0) existe et on a
∂ f
∂x
(0, 0) = lim
x→0
x = 0. Par symétrie de f ,
on a de même
∂ f
∂ y
(0, 0) = 0.
4. Pour r > 0, on a
∂ f
∂x
(r cos u, r sin u) = r (2 cos
5 u+4 cos
3 u sin
2 u−2 cos u sin
4 u),
d’où |
∂ f
∂x
(r cos u, r sin u)| 8r . Par conséquent,
∂ f
∂x
(x, y)
8
x 2 + y 2 , ce
qui montre que
lim
(x,y)→(0,0)
∂ f
∂x
(x, y) = 0. La symétrie de la formule entraîne le
même résultat concernant
∂ f
∂ y
, donc f est de classe C
1 sur R
2 .
Ce qu’il faut savoir
Soient U un ouvert de R
p , f une application de U dans R
n et a = (a 1 , . . . , a p ) ∈ U .
• Fonction différentiable (filière PSI)
◦ On dit que f est différentiable en a lorsqu’il existe une application
linéaire ∈ L (R
p , R
n ), V un voisinage de 0 et ´ : V → F tels que
∀h ∈ V , f (a + h) = f (a) + (h) + h´(h), avec lim
h→0
´(h) = 0. Cette
application linéaire est appelée différentielle de f au point a. On la note
d f (a).
◦ Si f est une application de classe C
1 sur U alors f est différentiable en tout
point de U , et pour tout a ∈ U , on a
d f (a) : h = (h 1 , . . . , h p ) →
p
j=1
h j
∂ f
∂x j
(a) = D h f (a)
1. Par les théorèmes généraux, la fonction f est continue sur R
2
\ {(0, 0)}. Par
ailleurs, on a f (r cos u, r sin u) = r
2 (sin
4 u + cos
4 u). Or | cos
4 u + sin
4 u| 2,
donc | f (r cos u, r sin u)| 2r
2 , d’où | f (x, y)| 2(x
2 + y
2 ) pour tout (x, y) ∈ R
2 .
Par conséquent, on a lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = 0, ce qui montre la continuité de f en
(0, 0).
2. Par les théorèmes généraux, la fonction f est de classe C
1 sur R
2
\ {(0, 0)}, et
on a, pour tout (x, y) ∈ R
2
\ {(0, 0)},
∂ f
∂x
(x, y) =
2x
5 + 4x
3 y
2
− 2x y
4
(x 2 + y 2 ) 2
. Comme
f (y, x) = f (x, y), on a aussi par symétrie,
∂ f
∂ y
(x, y) =
∂ f
∂x
(y, x) =
2y
5 + 4y
3 x
2
− 2yx
4
(x 2 + y 2 ) 2
.
3. Pour tout x = 0, on a
f (x, 0) − f (0, 0)
x
=
x
2
x
= x, de limite nulle lorsque x tend
vers 0. Donc
∂ f
∂x
(0, 0) existe et on a
∂ f
∂x
(0, 0) = lim
x→0
x = 0. Par symétrie de f ,
on a de même
∂ f
∂ y
(0, 0) = 0.
4. Pour r > 0, on a
∂ f
∂x
(r cos u, r sin u) = r (2 cos
5 u+4 cos
3 u sin
2 u−2 cos u sin
4 u),
d’où |
∂ f
∂x
(r cos u, r sin u)| 8r . Par conséquent,
∂ f
∂x
(x, y)
8
x 2 + y 2 , ce
qui montre que
lim
(x,y)→(0,0)
∂ f
∂x
(x, y) = 0. La symétrie de la formule entraîne le
même résultat concernant
∂ f
∂ y
, donc f est de classe C
1 sur R
2 .
Ce qu’il faut savoir
Soient U un ouvert de R
p , f une application de U dans R
n et a = (a 1 , . . . , a p ) ∈ U .
• Fonction différentiable (filière PSI)
◦ On dit que f est différentiable en a lorsqu’il existe une application
linéaire ∈ L (R
p , R
n ), V un voisinage de 0 et ´ : V → F tels que
∀h ∈ V , f (a + h) = f (a) + (h) + h´(h), avec lim
h→0
´(h) = 0. Cette
application linéaire est appelée différentielle de f au point a. On la note
d f (a).
◦ Si f est une application de classe C
1 sur U alors f est différentiable en tout
point de U , et pour tout a ∈ U , on a
d f (a) : h = (h 1 , . . . , h p ) →
p
j=1
h j
∂ f
∂x j
(a) = D h f (a)