Calcul différentiel 14
14.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
14.1.1 Dérivées partielles, fonction de classe C
1
Ce qu’il faut savoir
Soient U un ouvert de R
p , f une application de U dans R
n
et a = (a 1 , . . . , a p ) ∈ U .
• Soit u un vecteur de R
p . On dit que f admet une dérivée en a selon le vecteur
u lorsque la fonction t → f (a + tu) définie au voisinage de 0 est dérivable,
c’est-à-dire que l’expression
f (a + tu) − f (a)
t
a une limite finie lorsque t tend
vers 0. On note D u f (a) cette limite.
• Soit j ∈ {1, . . . , p}, lorsque l’application
p j : t → f (a 1 , . . . , a j−1 , t, a j+1 , . . . , a p )
est dérivable au point a j , on dit que f admet une j-ième dérivée partielle au
point a, et on pose p
j (a j ) =
∂ f
∂x j
(a).
• On dit que f est de classe C
1 sur U lorsque pour tout j ∈ {1, . . . , p}, f admet
une j-ième dérivée partielle en chaque point x de U , et lorsque les applications
∂ f
∂x j
: x →
∂ f
∂x j
(x) sont continues sur U .
Exercice 14.1
Soit la fonction définie sur R
2 par f (x, y) =
⎧
⎨
⎩
x
4 + y
4
x 2 + y 2 si (x, y) = (0, 0)
0
si(x, y) = (0, 0)
1. Montrer que f est continue sur R
2 .
2. Justifier que f est de classe C
1 sur R
2
\ {(0, 0)} et calculer ses dérivées partielles.
3. Calculer les dérivées partielles de f en (0, 0).
4. En déduire que f est de classe C
1 sur R
2 .