324 Chap. 13. Équations différentielles non linéaires
En écrivant que
f
1 + sin f
= 1 et en intégrant de 0 à t, on obtient
t =
f (t)
0
du
1 + sin u
=
−
p
2 + f (t)
−
p
2
dv
1 + cos v
=
tan
v
2
−
p
2 + f (t)
−
p
2
d’où t = tan
f (t)
2
−
p
4
+ 1. On obtient finalement f (t) =
p
2
+ 2 Arctan(t − 1).
On en déduit que f (t) −−−−→
t→−∞
−
p
2
et f (t) − −−− →
t→+∞
3p
2
.
2. Le système proposé admet une solution maximale unique g tel que g(t 0 ) = (1, 0).
La fonction u = x
2 + y
2 est dérivable et on a
u
= 2x x
+ 2yy
= 2x(−1 − y + x
2 ) + 2y(x + x y) = 2x(u − 1) .
Comme u(t 0 ) = 1 et que la fonction constante égale à 1 est solution de l’équation
u
= 2x(u − 1), on en déduit par application du théorème d’unicité que u est
constante égale à 1. On en déduit que la trajectoire est circulaire.
On peut alors appliquer à g le théorème de relèvement : il existe u de classe C
1
telle que u(t 0 ) = 0 et ∀t ∈ I , g(t) = (cos u(t), sin u(t)). En remplaçant dans
le système, on obtient
−u
sin u = − sin u(1 + sin u)
u
cos u = cos u(1 + sin u)
Comme le sinus et le
cosinus ne s’annulent pas simultanément, cela équivaut à u
= 1 + sin u, ce qui
nous ramène à la première question. Si on pose f (t) = u(t + t 0 ), la fonction f est
solution du problème de Cauchy de 1). On en déduit u(t) =
p
2
+2 Arctan(t −t 0 −1).
En utilisant les formules sin(2 Arctan u) =
2u
1 + u 2 et cos(2 Arctan u) =
1 − u
2
1 + u 2 ,
on obtient finalement
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x = − sin(2 Arctan(t − t 0 − 1)) =
−2(t − t 0 − 1)
1 + (t − t 0 − 1) 2
y = cos(2 Arctan(t − t 0 − 1)) =
1 − (t − t 0 − 1)
2
1 + (t − t 0 − 1) 2