13.3 Exercices d’approfondissement 323
0.5
0.5
1.0
1.5
4
3
2
1
Exercice 13.12
Polytechnique PC 2006 K
1. Justifier l’existence d’une solution maximale (I , f ) de l’équation différentielle u
= 1 + sin u telle que f (0) = 0. Montrer que I = R, puis donner
l’expression de f . En déduire ses limites en ±∞.
2. Déterminer les solutions g : t → (x(t), y(t)) du système différentiel
x
= −1 − y + x
2
y
= x + x y
pour lesquelles il existe t 0 ∈ R tel que g(t 0 ) = (1, 0).
Indication de la rédaction : on montrera que la fonction u = x
2 + y
2 est
constante, puis on utilisera le théorème de relèvement rappelé dans l’exercice
précédent.
1. • La fonction u → 1 + sin u est de classe C
1 sur R, ce qui assure l’existence et
l’unicité d’une solution maximale ( ] a, b [ , f ) du problème de Cauchy en (0, 0).
En outre, f
0 donc f est croissante. Si b est fini, 0 f
2, donc
∀t ∈ [ 0, b [ , 0 f (t) 2t 2b, donc f est bornée et admet une limite
finie en b, et f
également grâce à l’équation différentielle, donc f est prolongeable en une solution sur ] a, b ] , ce que réfute sa maximalité. En conséquence,
b = +∞, et par un raisonnement analogue, a = −∞, donc I = R.
• S’il existe t 1 tel que f (t 1 ) ≡ −
p
2
(mod 2p), la fonction constante égale à f (t 1 )
est solution du même problème de Cauchy que f en t 1 , donc lui est égal par
unicité, or f (0) = 0 = f (t 1 ), contradiction.
• Sinon, f étant continue et nulle en 0, elle prend ses valeurs dans ] −
p
2
,
3p
2
[ .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Exercice 13.12
Polytechnique PC 2006 K
1. Justifier l’existence d’une solution maximale (I , f ) de l’équation différentielle u
= 1 + sin u telle que f (0) = 0. Montrer que I = R, puis donner
l’expression de f . En déduire ses limites en ±∞.
2. Déterminer les solutions g : t → (x(t), y(t)) du système différentiel
x
= −1 − y + x
2
y
= x + x y
pour lesquelles il existe t 0 ∈ R tel que g(t 0 ) = (1, 0).
Indication de la rédaction : on montrera que la fonction u = x
2 + y
2 est
constante, puis on utilisera le théorème de relèvement rappelé dans l’exercice
précédent.
1. • La fonction u → 1 + sin u est de classe C
1 sur R, ce qui assure l’existence et
l’unicité d’une solution maximale ( ] a, b [ , f ) du problème de Cauchy en (0, 0).
En outre, f
0 donc f est croissante. Si b est fini, 0 f
2, donc
∀t ∈ [ 0, b [ , 0 f (t) 2t 2b, donc f est bornée et admet une limite
finie en b, et f
également grâce à l’équation différentielle, donc f est prolongeable en une solution sur ] a, b ] , ce que réfute sa maximalité. En conséquence,
b = +∞, et par un raisonnement analogue, a = −∞, donc I = R.
• S’il existe t 1 tel que f (t 1 ) ≡ −
p
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(mod 2p), la fonction constante égale à f (t 1 )
est solution du même problème de Cauchy que f en t 1 , donc lui est égal par
unicité, or f (0) = 0 = f (t 1 ), contradiction.
• Sinon, f étant continue et nulle en 0, elle prend ses valeurs dans ] −
p
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