14.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 333
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
1
2
3
4
5
6
7
8
−1
−2
−3
V
u
v
Soit (u, v) ∈ V . On note x et y les racines (distinctes) du trinôme précédent, x
étant la plus grande, ce qui entraîne que (u, v) = f(x, y). On en déduit que f est
une bijection de U sur V . Le jacobien de f en (x, y) est égal à
y x
1 1
= y−x < 0.
Il ne s’annule pas sur U , donc f est un C
1 difféomorphisme de U sur V .
2. On pose g = f ◦ f
−1 , de sorte que g est de classe C
1 sur V si et seulement si
f est de classe C
1 sur U . On a alors f (x, y) = g(x y, x + y). Par la formule de
dérivation d’une composée, on obtient pour (x, y) ∈ U ,
∂ f
∂x
(x, y) = y
∂g
∂u
(x y, x + y) +
∂g
∂v
(x y, x + y)
∂ f
∂ y
(x, y) = x
∂g
∂u
(x y, x + y) +
∂g
∂v
(x y, x + y)
L’équation (∗) équivaut à (y − x)
∂g
∂u
+ 3(x − y)g = 0, d’où
∂g
∂u
= 3g.
3. On résout l’équation ci-dessus à v fixé : il existe un réel A(v) tel que pour tout
réel u tel que (u, v) ∈ V , on a g(u, v) = A(v)e
3u . Pour montrer que A est bien de
classe C
1 , on écrit la relation précédente pour u = −1 (ce qui permet d’obtenir
toutes les valeurs de v - voir dessin ci-dessus), ce qui donne, pour tout v ∈ R,
g(−1, v) = A(v)e
−3 , c’est-à-dire A(v) = g(−1, v)e
3 . La fonction A est donc C
1
sur R. On en déduit que les solutions de (∗) sont les fonctions de la forme
(x, y) → A(x + y)e
3xy où A décrit C
1 (R, R) .
14.1.5 Fonctions numériques de classe C
1
Ce qu’il faut savoir
Soit U un ouvert de R
p et soit f une application de classe C
1 de U dans R.
• Soit a un point de U , le vecteur grad f a =
∂ f
∂x 1
(a), . . . ,
∂ f
∂x p
(a)
est appelé
gradient de f au point a.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit